Olimpíadas

Seja $(1+x+x^2+x^3+x^4)^{496}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{1984}x^{1984}$

a) Determine $MDC\,(a_3,a_8,...,a_{1983})$
b) Prove que $10^{340}<a_{992}<10^{347}$

Infelizmente não possui o gabarito da letra a).
Abraço.

Mensagem não lidapor **leozitz** » 06 Fev 2023, 16:40 · Mensagem não lida por **leozitz** » 06 Fev 2023, 16:40

Resposta

ideia 1:

[tex3]x = 0\implies a_0 = 1[/tex3]
vamos derivar uma vez
[tex3]496(1 + 2x+3x^2+4x^3)(1+x+x^2+x^3+x^4)^{495}=a_1 +2a_2x+3a_3x^2+...+1984x_{1984}x^{1983}[/tex3]
fazendo x = 0 na igualdade obitda
[tex3]496 = a_1[/tex3]

derivando de novo
[tex3]496((1+2x+3x^2+4x^3)'(1+x+x^2+x^3+x^4)^{495} + (1+2x+3x^2+4x^3)(f(x)^{495})') = \\2a+3\cdot2a_3x + 4\cdot3a_4x^2 + ... + 1984\cdot1983a_{1984}x^{1982}[/tex3]

onde [tex3]f(x) = 1+x+x^2+x^3+x^4[/tex3]
e tbm vou olhar para função quando x = 0
[tex3]496(2\cdot1 + 1\cdot495\cdot1\cdot1^{494}) = 2a_2[/tex3]
se a_3 fosse 1 até seria bom mas eu ainda precisaria encontrar a derivada daquilo para poder encontrar a_3 e já daria muito trabalho

solução não elegante para o item a)

[tex3]f(x) = 1 + x^2 + x^3 + x^4 = \frac{x^5-1}{x-1}[/tex3] quando x não é 1

[tex3](x^5-1)^{496} = (a_0 + a_1x+...+a_{1984}x^{1984})(x-1)^{496}[/tex3]
se vc olhar para o lado esquerdo, vai notar que só os expoentes multiplos de 5 aparecem

vamos ver agora oq acontece no lado direito.

[tex3](1+a_1x+...+a_{1984}x^{1984})$\sum_{i=0}^{496}\binom{496}{i}x^i(-1)^{496-i}$[/tex3]
ok, depois do expoente 0, só a galera de 5 pra cima aparece então vamos fazer o seguinte, no lado direito todos os que tiverem expoente menor devem se cancelar, então vamos começar olhando só para a seguinte expansão
[tex3](1 + a_1x + a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4)$1 - 496x + \binom{496}{2}x^2 -\binom{496}{3}x^3 + \binom{496}{4}x^4$[/tex3]
quando eu expandir isso, se eu tiver algo ax^3 então a precisa ser 0.

olhando para os expoentes
1 = 1 + 0 ou 0 + 1
então [tex3]-496x + a_1x = 0[/tex3] desta forma a_1 = 496
2 = 1 + 1 ou 2 + 0 ou 0 + 2
[tex3]-496a_1x^2 + a_2x^2+\binom{496}{2}x^2 =0[/tex3]
[tex3]a_2 = 123256[/tex3]

3 = 3 + 0 ou 1 + 2 ou 2 + 1 ou 0 + 3
[tex3]a_3-\binom{496}{3} -496a_2 + a_1\binom{496}{2}=0[/tex3]
[tex3]a_3 = 20460496[/tex3]
mas isso já está dando muito trabalho.
vamos tentar outra coisa
x = -1:
[tex3]1-a_1+a_2-a_3+...-a_{1983}+a_{1984} = 1[/tex3]
[tex3]-a_3+a_4+...-a_{1983} + 2 - 496 +123256=1\\[/tex3]
[tex3]-a_3+a_4+...-a_{1983} = -122761[/tex3] que acontece de ser um número primo,

então o mdc é 1 ou esse primo. pra ver se pode ser esse primo vamos ver se a_3 é divisivel, se for a gente ainda não pode afirmar nada mas se não for, então o mdc é 1
efetuando a divisão vemos que não é divisivel, então demos sorte e o mdc é 1

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