Ensino Médio ⇒ Indução matemática Tópico resolvido

[fenixxx]

mostre q pelo Princıpio da Indução Matematica que Para todo número natural n vale a seguinte afirmação:

[tex3]\frac{1}{1,3} + \frac{1}{3,5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{1,3} + \frac{1}{3,5}[/tex3]

+ ... + [tex3]\frac{1}{(2k-1).(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{(2k-1).(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}[/tex3]

Eu estou tendo dificuldades em realizar a indução, meu resultado da uma coisa absurda, vcs poderiam me ajudar?

[Alexander]

Seja Sn a soma dos n termos.

P/n=1

[tex3]S1 = \frac{1}{2.1 + 1} = \frac{1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S1 = \frac{1}{2.1 + 1} = \frac{1}{3}[/tex3]

- (Verdadeiro)

Supondo que seja válida para n=k

[tex3]Sk = \frac{k}{2.k + 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Sk = \frac{k}{2.k + 1}[/tex3]

Fazendo agora S(k+1):

[tex3]S(k+1) = \frac{k+1}{2.(k+1) + 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S(k+1) = \frac{k+1}{2.(k+1) + 1}[/tex3]

- Hipótese

Sabemos que [tex3]S(k+1) = Sk + \frac{1}{[2.(k+1)-1][2.(k+1)+1]}=Sk + \frac{1}{[2k +1][2k+3]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S(k+1) = Sk + \frac{1}{[2.(k+1)-1][2.(k+1)+1]}=Sk + \frac{1}{[2k +1][2k+3]}[/tex3]

Como [tex3]Sk = \frac{k}{2.k + 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Sk = \frac{k}{2.k + 1}[/tex3]

ficamos com:

[tex3]\frac{k}{2.k + 1} + \frac{1}{[2k +1][2k+3]} = \frac{1}{2k+1}(k +\frac{1}{2k+3}) = \frac{1}{2k+1}(\frac{2k^{2} + 3k + 1}{2k+3})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{k}{2.k + 1} + \frac{1}{[2k +1][2k+3]} = \frac{1}{2k+1}(k +\frac{1}{2k+3}) = \frac{1}{2k+1}(\frac{2k^{2} + 3k + 1}{2k+3})[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2k+1}[\frac{k^{2} + k + (k^{2} + 2k + 1)}{2k+3}] = \frac{1}{2k+1}[\frac{k(k+1) + (k + 1)^{2}}{2k+3}] = \frac{1}{2k+1}\frac{(k+1)(2k+1)}{2k+3} = \frac{1}{\cancel{2k+1}}\frac{(k+1)\cancel{(2k+1)}}{2k+3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2k+1}[\frac{k^{2} + k + (k^{2} + 2k + 1)}{2k+3}] = \frac{1}{2k+1}[\frac{k(k+1) + (k + 1)^{2}}{2k+3}] = \frac{1}{2k+1}\frac{(k+1)(2k+1)}{2k+3} = \frac{1}{\cancel{2k+1}}\frac{(k+1)\cancel{(2k+1)}}{2k+3}[/tex3]

[tex3]S(k+1) = \frac{k+1}{2k +3} = \frac{k+1}{2k +2 + 1} = \frac{k+1}{2(k+1) +1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S(k+1) = \frac{k+1}{2k +3} = \frac{k+1}{2k +2 + 1} = \frac{k+1}{2(k+1) +1}[/tex3]

- Hipótese confirmada

Abraço.