Pré-Vestibular(FUVEST) Logaritmo Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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GabrielDias
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Ago 2012 08 01:08

(FUVEST) Logaritmo

Mensagem não lida por GabrielDias »

Os números reais [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] sao soluções do sistema:

[tex3]\begin{cases}2 \cdot \log_{2}X - \log_{2}(y - 1) = 1\\\log_{2}(X+4) - \frac{1}{2} \log_{2}Y = 2\end{cases}[/tex3]

Então [tex3]7\cdot (\sqrt{Y}-X)[/tex3] vale?

Última edição: GabrielDias (Qua 08 Ago, 2012 01:08). Total de 2 vezes.


"A matemática existe, como já disse o filósofo, por toda a parte. É preciso, porém, olhos para vê-la, inteligência para compreendê-la e alma para admirá-la." - Beremiz Samir.
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jrneliodias
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Ago 2012 08 12:10

Re: (FUVEST) Logaritmo

Mensagem não lida por jrneliodias »

Olá Gabriel,

[tex3]\begin{cases}2 . \log_{2}x - \log_{2}(y - 1) = 1\,\,\,\cdots\,\,\,(1)\\\log_{2}(x+4) - \frac{1}{2} \log_{2}y = 2\,\,\,\cdots\,\,\,(2)\end{cases}[/tex3]

Aplicando as propriedades logaritmícas em [tex3](1)\,\,\,e\,\,\,(2)[/tex3] :
[tex3](1):\log_2x^2-\log_2(y-1)=1\,\,\Rightarrow\,\,\log_2x^2=1+\log_2(y-1)\\\,\,\Rightarrow\,\,\log_2x^2=\log_22(y-1)\,\,\,\Leftrightarrow\,\,x^2=2(y-1)\,\,\cdots\,\,(3)\\\\(2):\log_2(x+4)-\frac{1}{2}\log_2y=2\,\,\Rightarrow\,\,\log_2(x+4)=2+\log_2\sqrt{y}\,\,\Rightarrow\,\,\\\log_2(x+4)=\log_24\sqrt{y}\,\,\Leftrightarrow\,\,x+4=4\sqrt{y}\,\,\cdots\,\,(4)[/tex3]

Isolando [tex3]y[/tex3] em [tex3](4):[/tex3]
[tex3]x+4=4\sqrt{y}\,\,\Rightarrow\,\,y=\frac{x^2-8x+16}{16}[/tex3]

Substituindo em [tex3](3):[/tex3]
[tex3]x^2=2\left(\frac{x^2-8x+16}{16}-1\right)\,\,\Rightarrow\,\,x^2=\frac{x^2-8x+16}{8}-2\,\,\Rightarrow\,\,\\8x^2=x^2+8x+16-16\,\,\Rightarrow\,\,7x^2-8x=0\,\,\Leftrightarrow\,\,x=0\,\,\,ou\,\,\,x=\frac{8}{7}[/tex3]

[tex3]x=0[/tex3] não serve.

Substituindo em [tex3](4):[/tex3]
[tex3]\frac{8}{7}+4=4\sqrt{y}\,\,\Leftrightarrow\,\,\sqrt{y}=\frac{9}{7}[/tex3]

Agora, [tex3]7\cdot (\sqrt{y}-x)=\boxed1[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

Última edição: jrneliodias (Qua 08 Ago, 2012 12:10). Total de 2 vezes.


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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Diegooo
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Ago 2012 08 12:37

Re: (FUVEST) Logaritmo

Mensagem não lida por Diegooo »

Atendendo a condição de existência de um logaritmo

C.E [tex3]\begin{cases}x>0\\y-1>0 \rightarrow y>1\end{cases}[/tex3]

C.E [tex3]\begin{cases}y>0\\x+4>0 \rightarrow x>-4\end{cases}[/tex3]

Logo condição de existência final [tex3]\boxed{C.E \rightarrow x>0\ e\ y>1}[/tex3]

Utilizando-se das propriedades de logaritmos temos:

[tex3]\frac{2\cdot \log_2x}{\log_2(y-1)}=1[/tex3]

[tex3]\log_2\frac{x^2}{y-1}=1[/tex3]

Do mesmo modo

[tex3]\frac{\log_2(x+4)}{\frac{{1}}{{2}}\cdot \log_2(y)}=2[/tex3]

[tex3]\log_2\frac{(x+4)}{y^{\frac{1}{2}}}=2[/tex3]

Então:

[tex3]\begin{cases}\frac{x^2}{y-1}=2\\\\\frac{(x+4)}{y^{\frac{1}{2}}}=4\end{cases}[/tex3]

[tex3]x^2=2(y-1)\ (I)[/tex3]
[tex3]x+4=4\cdot \sqrt{y}\ (II)[/tex3] (Eleve os dois membros ao quadrado)

[tex3](x+4)^2=(4\cdot \sqrt{y})^2[/tex3]
[tex3]y=\frac{(x+4)^2}{16}[/tex3]

Substituindo (II) e (I) temos:

[tex3]x^2=2\left[\frac{(x+4)^2}{16}-1 \right][/tex3]

[tex3]x^2= 2\left(\frac{x^2+8x+16}{16}-1\right)[/tex3] Nossa que questão chata!

[tex3]x^2= \cancel{2}\left(\frac{x^2+8x+16-16}{\cancel{16}}\right)[/tex3]

[tex3]x^2= \frac{x^2+8x}{8}[/tex3] [tex3]\therefore 8x^2=x^2+8x[/tex3]

Dessa forma

[tex3]8x-7x^2=0[/tex3]

[tex3]x= 0 \therefore x= \frac{8}{7}[/tex3] (da condição de existência sabemos que [tex3]x > 0[/tex3] ), logo concluímos que [tex3]x=\frac{8}{7}[/tex3]

Substitua [tex3]x[/tex3] na equação I

[tex3]\frac{8}{7}^2=2(y-1)[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] [tex3]\frac{64}{49}=2y-2[/tex3]

[tex3]2y=\frac{64+98}{49}[/tex3]

[tex3]y=\frac{162}{49}\cdot \frac{1}{2}=\frac{81}{49}[/tex3]

Agora basta substituir o valores.

Espero ter ajudado!
Última edição: Diegooo (Qua 08 Ago, 2012 12:37). Total de 2 vezes.



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GabrielDias
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Re: (FUVEST) Logaritmo

Mensagem não lida por GabrielDias »

Ficou bem claro agora, obrigado aos dois. :D


"A matemática existe, como já disse o filósofo, por toda a parte. É preciso, porém, olhos para vê-la, inteligência para compreendê-la e alma para admirá-la." - Beremiz Samir.
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Liliana
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Re: (FUVEST) Logaritmo

Mensagem não lida por Liliana »

Eu não entendi na primeira equação
Por que log(2)(y-1) passa a ser log(2)[2(y-1)]?
Alguém pode me explicar fazendo um favor??



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rodBR
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Re: (FUVEST) Logaritmo

Mensagem não lida por rodBR »

Olá Liliana, boa tarde.

Acredito que sua dúvida esteja na primeira equação do sistema.
Primeiramente recordemos as três propriedades a seguir:

I) [tex3]\log_{a}a=1[/tex3] [tex3]\rightarrow Consequência\ da \ definição \ de\ logaritmo[/tex3]
II) [tex3]\log_{a}(B\cdot C)=\log_{a}B+\log_{a}C[/tex3]
III) [tex3]\log_{a}b^{w}=w\cdot \log_{a}b[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
2\cdot \log_{2}x-\log_{2}(y-1)=1 \ (i)\\
\log_{2}(x+4)-\frac{1}{2}\cdot \log_{2}y=2\ (ii)
\end{cases}[/tex3]

Vamos trabalhar a equação [tex3](i)[/tex3] :
[tex3]2 . \log_{2}x - \log_{2}(y - 1) = 1[/tex3] . No primeiro membro em [tex3]2 . \log_{2}x[/tex3] , use a propriedade (3):
[tex3]\log_{2}x^{2} - \log_{2}(y - 1) = 1[/tex3]
[tex3]\log_{2}x^{2} = 1+\log_{2}(y - 1)[/tex3] . Como as bases é 2, podemos escrever [tex3]1=\log_{2}2\rightarrow[/tex3] (propriedade I):
[tex3]\log_{2}x^{2} = \log_{2}2+\log_{2}(y - 1)[/tex3] . Utilizando a propriedade (II) no segundo membro, temos:
[tex3]\log_{2}x^{2} = \log_{2}[2\cdot (y - 1)][/tex3] .

Acredito que era essa sua dúvida.

Abraços...
Última edição: rodBR (Qua 29 Mar, 2017 15:11). Total de 4 vezes.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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Liliana
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Re: (FUVEST) Logaritmo

Mensagem não lida por Liliana »

Simm, era isso mesmo
Muito obrigada! :D




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