Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Pabloh7** » Ter 31 Jul, 2012 18:47

Determine o valor de [tex3]x[/tex3] :

[tex3]\begin{cases}log_{0,25} (x + y) = -1\\2 * log_{2} (x) + log_{2}(y) = 3\end{cases}[/tex3]

Por favor expliquem como chegar na resposta.

Resposta

RESP.: S{(2,2) ; (1 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3] , 3 - [tex3]\sqrt{5}[/tex3] )}

Olá, Pablo7

$\begin{cases}\log_{0,25}(x + y) = -1\,\,...(I)\\2 \cdot \log_{2}(x) + \log_{2}(y) = 3\,\,...(II)\end{cases}$

Aplicando as propriedades logarítmicas em $(I)$ , teremos:

$\log_{0,25}(x+y)= -1\,\,\Rightarrow\,\,\log_{\frac{1}{4}}(x+y)=-1\,\,\Leftrightarrow\,\,x+y=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\Rightarrow x+y=4 \,\,(III)$

Aplicando as propriedades logarítmicas em $(II)$ , teremos:

$2 \cdot \log_{2}(x) + \log_{2}(y) = 3\,\,\Rightarrow\,\,\log_2(x^2)+\log_2(y)=3$

$\,\,\Rightarrow\,\,\log_2(x^2y)=3 \,\,\Leftrightarrow\,\, x^2y=8\,\,(IV)$

Observe que com $(III)\,\,e\,\,(IV)$ podemos criar um sistema mais simples:

$\begin{cases}x+y=4\,\,...(III)\\x^2y=8\,\,...(IV)\end{cases}$

Isolamos $x$ em $(III) : \,\,x=4-y$

Substituimos em $(IV):(4-y)^2\cdot\,y=8\,\,\Rightarrow\,\,(16-8y+y^2)\cdot y=8\,\,\Rightarrow\,\,y^3-8y^2+16y-8=0$

Encontramos o polinômio $P(y):y^3-8y^2+16y-8=0$ . Eu não tenho muita base de polinômio para lhe dizer a melhor propriedade que ajudaria a achar as raízes desse polinômio. Mas, analisando-o seu gabarito e jogando $2$ encontrei uma das raízes.

Uma das propriedades polinomiais que conheço, diz que todo polinômio, que possui raízes pertencentes aos Complexos, pode ser divisível pela variável menos uma da(s) raiz(es).

Usando ela obti :

$(y^3-8y^2+16y-8)\div(y-2)= y^2-6y+4\,\,\Leftrightarrow\,\,y^3-8y^2+16y-8=(y^2-6y+4)\cdot(y-2)$

Agora, só analisando $y^2-6y+4$ , vamos achar suas raízes.

$y^2-6y+4=0\,\,\Leftrightarrow\,\,y=\frac{6\pm\sqrt{36-4\cdot 1\cdot 4}}{2}\,\,\Leftrightarrow\,\,y=\frac{6\pm2\sqrt{5}}{2}\,\,\Leftrightarrow\,\,y=3\pm\sqrt{5}$

Ainda se lembra de $(III)$ e $(IV)$ ? Poisé, esses $y$ devem satisfazer esse sistema para ser a solução da questão. Então vamos testá-los:

$y=3+\sqrt{5}$ em $(III)$ : $x+(3+\sqrt{5})= 4\,\,\Leftrightarrow\,\,x=1-\sqrt{5}$

Substituimos os dois resultados em $(IV)$ : $(1-\sqrt{5})^2\cdot(3+\sqrt{5})=8\,\,\Rightarrow\,\,8+6\sqrt{5}=8\,\,(Impossivel)$

Significa que $y=3+\sqrt{5}$ não é uma raíz da questão.

Vamos para $y=3-\sqrt{5}$ e substituimos em $(III)$ : $x+(3+\sqrt{5})=4\,\,\Leftrightarrow\,\,x=1+\sqrt{5}$

Substituindo os dois resultados em $(IV)$ : $(1+\sqrt{5})^2\cdot(3-\sqrt{5})=8$

Logo: $S_1=\{(1+\sqrt{5}),(3-\sqrt{5})\}$

Sabemos que com meu chute cagado

achamos que $y=2$ . Substituindo em $(III)$ : $x+2=4\,\,\Leftrightarrow\,\,x=2$

Assim: $S_2=\{2,2\}$

Concluindo(finalmente) que: $\boxed{\boxed{S=\{(2,2);[(1+\sqrt{5}),(3-\sqrt{5})]\}}}$

Espero ter ajudado, abraço.

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