DemonstraçõesDemonstração - Área de um Triângulo por Determinante

Fórum de coletânea das melhores demonstrações de teoremas de matemática.
Se você quiser postar uma demonstração aqui, poste, inicialmente, no fórum correspondente utilizando o título "Demonstração Teorema X" e substitua com o nome do teorema/fórmula que você postou e, depois, envie o link para um moderador pedindo para sua mensagem ser movida para o fórum "Demonstrações". Somente moderadores poderão mover sua mensagem para este fórum.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
theblackmamba
5 - Mestre
Mensagens: 3723
Registrado em: Ter 23 Ago, 2011 15:43
Última visita: 20-11-19
Localização: São Paulo - SP
Jul 2012 26 23:46

Demonstração - Área de um Triângulo por Determinante

Mensagem não lida por theblackmamba »

Dado um triângulo qualquer de vértices [tex3]A(x_a,y_a),\,\,B(x_b,y_b),\,\,C(x_c,y_c)[/tex3] . A área deste de triângulo pode ser determinada por via da metade do módulo da matriz com as as coordenadas de seus vértices.
[tex3]A=\frac{1}{2} \times \left| \begin{array}{ccc}x_a & y_a & 1\\x_b & y_b & 1\\x_c & y_c & 1 \end{array} \right|[/tex3]
Demonstração:

[tex3]\text{Área}=\frac{\text{base}\times \text{altura}}{2}[/tex3]

Seja aleatoriamente [tex3]\overline{AB}[/tex3] a base e [tex3]\overline{PC}[/tex3] a altura, onde [tex3]P[/tex3] é ponto intersecção de [tex3]\overline{PC}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3] .
ma.png
ma.png (10.46 KiB) Exibido 6767 vezes
1: Equação da reta AB:

[tex3]\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\\end{array}\right|=(y_a-y_b)\cdot x+(x_b-x_a)\cdot y + (x_ay_b-x_by_a)[/tex3]



2: Altura:

A altura é a distância do vértice C à reta [tex3]\overline{AB}[/tex3] .

[tex3]\overline{PC}=\frac{\left|(y_a-y_b)x_c+(x_b-x_a)y_c+(x_ay_b-x_by_a)\right|}{\sqrt{(y_a-y_b)^2+(x_b-x_a)^2}}[/tex3]
[tex3]\overline{PC}=\frac{\left|\begin{array}{ccc}x_c&y_c&1\\x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\\end{array}\right|}{\sqrt{(y_a-y_b)^2+(x_b-x_a)^2}}[/tex3] .



3: Medida do Lado AB:

[tex3]\overline{AB}=\sqrt{(x_a-x_b)^2 + (y_a-y_b)^2}[/tex3]



4: Área do triângulo:

[tex3]A=\frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{PC}[/tex3]
[tex3]A=\frac{1}{2} \times \cancel{\sqrt{(x_a-x_b)^2 + (y_a-y_b)^2}} \times \frac{\left|\begin{array}{ccc}x_c&y_c&1\\x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\\end{array}\right|}{\cancel{\sqrt{(y_a-y_b)^2+(x_b-x_a)^2}}}[/tex3] . Como o módulo do determinante não se altera, podemos permutar as linhas 1 e 2.

[tex3]\boxed{A=\frac{1}{2} \times \left| \begin{array}{ccc}x_a & y_a & 1\\x_b & y_b & 1\\x_c & y_c & 1 \end{array} \right|}[/tex3]

Última edição: caju (Qui 03 Ago, 2017 11:26). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3


"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Demonstrações”