Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Aron** » Ter 24 Jul, 2012 23:32 · Mensagem não lida por **Aron** » Ter 24 Jul, 2012 23:32

Seja [tex3]x,y,z[/tex3] números reais positivos tais que [tex3]xyz\geq1[/tex3] Demonstre que
[tex3]\frac{x^{5}-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\geq 0[/tex3]

Olá, Aron

Temos que $x,y,z \in \mathbb{R_+}$ e $xyz\geq 1$ . Então podemos afirmar que:

$x,y,z \in \mathbb{R^*_+}$ $(I)$

$x^2, y^2, z^2 > 0$ $(II)$

$x^5, y^5, z^5 > 0$ $(III)$

$\Downarrow$

$(x^5 + y^2 +z^2), (y^5 +z^2 +x^2),(z^5+x^2+y^2) > 0$

Agora, vamos para equação:

Chamaremos de $\alpha =x^5 + y^2 +z^2$ , $\beta = y^5 +z^2 +x^2$ e $\theta = z^5+x^2+y^2$ para simplificar a equação.

$\frac{x^5-x^2}{\alpha} + \frac{y^5-y^2}{\beta} + \frac{z^5-z^2}{\theta} \geq 0$

$\frac{\beta. \theta.(x^5-x^2) + \alpha. \theta.(y^5-y^2) + \alpha. \beta.(z^5-z^2)}{\alpha.\beta.\theta} \geq 0$

Sabemos que $\alpha.\beta.\theta>0$ , assim:

$\beta. \theta.(x^5-x^2) + \alpha. \theta.(y^5-y^2) + \alpha. \beta.(z^5-z^2)\geq0 \Leftrightarrow (x^5-x^2)\geq0$ ou $(y^5-y^2)\geq0$ ou $(z^5-z^2)\geq0$

$x^5-x^2>0 \Leftrightarrow x^2(x^3-1)>0$ . Usando o estudo dos sinais, chegamos à:

$x>1$ . Percebemos que esse raciocínio pode ser usado para $y$ e $z$ .

Assim, concluimos que:

$\boxed{S=\{x,y,z \in \mathbb{R^*_+} | x,y,z>1\}}$

Espero ter ajudado, abraço.

Mensagem não lidapor **Aron** » Sex 03 Ago, 2012 23:48 · Mensagem não lida por **Aron** » Sex 03 Ago, 2012 23:48

Saudações, desculpe não agradecer é que eu realmente esqueci, mas enfim concordo com a solução e agradeço a ajuda

Abraços...

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