Ensino Médio

23 Jul 2012, 14:06

Seja $A$ e $B$ conjuntos quaisquer prove que $A \, - \, \complement_{B}^{A} \, = \, A \, \cap \, B$ .

Mensagem não lida por **felps** » 23 Jul 2012, 14:17

Pelo diagrama de Venn,

O que falta em $B$ para ser igual a $A$ :

: tutorbrasil.JPG (3.78 KiB) Exibido 829 vezes

$A \, - \, \complement_{B}^{A} \, = \, A \, \cap \, B$ .

23 Jul 2012, 15:55

Olá, felps!

Existe alguma forma de demonstrar essa proposição sem recorrer ao diagrama de Euler-Venn?

Um abraço!

Mensagem não lida por **felps** » 23 Jul 2012, 16:01

Dá pra fazer algo assim:

$A-(A + B - A + A\cap B) = A\cap B$
$A - B = 0$
$A = B$

23 Jul 2012, 17:20

emanuel9393 escreveu:Seja $A$
Código: Selecionar tudo
[tex3]A[/tex3]
e $B$
Código: Selecionar tudo
[tex3]B[/tex3]
conjuntos quaisquer prove que $A \, - \, \complement_{B}^{A} \, = \, A \, \cap \, B$
Código: Selecionar tudo
[tex3]A \, - \, \complement_{B}^{A} \, = \, A \, \cap \, B[/tex3]
.

Emanuel,

$\complement_{B}^{A} \$ é o complementar de $A$ em relação a $B$ , ou seja, $B-A$ .

É o que se devem acrescentar a $A$ para que ele se transforme em $B$

Era isso que queria dizer amigo?

23 Jul 2012, 20:45

Olá, jrneliodias!

A minha duvida é o seguinte: o complementar de $B$ em $A$ não está contido em $A$ . Sabendo disso, a subtração de $A$ com o complementar de $B$ em $A$ deveria ser o próprio conjunto $A$ e não a intersecção de $A$ com $B$ .

Para ser sincero, eu não entendi a setença. O que você me diz?

Grande abraço, amigo!

24 Jul 2012, 20:41

Olá Emanuel.

Então somos dois! Não entendi nada kkk.

Bem o que eu discordo é nesse ponto:

o complementar de $B$
Código: Selecionar tudo
[tex3]B[/tex3]
em $A$
Código: Selecionar tudo
[tex3]A[/tex3]
não está contido em $A$
Código: Selecionar tudo
[tex3]A[/tex3]
.

Se temos o complementar de $B$ em(relação a) $A$ , poderemos representar assim:

: Sem título.jpg (5.51 KiB) Exibido 783 vezes

Minha conclusão é que o certo seria: "o complementar de $B$ em $A$ não está contido em $B$ "
Estaria-nos dizendo que $B$ não está contido em $A$ .

Assim: $A- \complement_{A}^{B} = \{x:x \in A$ e $x \notin (A-B) \} = \{x \in A$ e $x \notin (x \in A$ e $x \notin B) \}$

$=\{x \in A$ e $( x \notin A$ ou $x \in B) \}$ $= \{(x \in A$ e $x \notin A)$ ou $(x\in A$ e $x \in B) \}$

$\{x\in \emptyset$ ou $x \in (A \cap B) \}$ $= \{x \in (A \cap B) \} = \boxed{(A \cap B)}$

Beleza? Abraço.

P.S.: Chame-me de Nélio

24 Jul 2012, 21:38

Olá, Nélio!

Realmente eu confundi a definição de complementar de um conjunto. Agora a proposição faz sentido. Muito obrigado pela ajuda tanto sua como o do nosso amigo felps.

Um abraço!

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