Ensino Médio

Calcular [tex3]\sqrt[6]{-1}[/tex3]

Resposta

Resp:

[tex3]-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\,\,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\,\,-i,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i ,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i[/tex3]

Mensagem não lidapor **jacobi** » Sáb 21 Jul, 2012 16:34

l3on4rd0 escreveu:Calcular [tex3]\sqrt[6]{-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[6]{-1}[/tex3]

Resposta

Resp:

[tex3]-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\,\,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\,\,-i,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i ,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,\,\,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\,\,-i,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i ,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i[/tex3]

[tex3]z = -1[/tex3] ; [tex3]z = cos 270 + isen270[/tex3]
Logo, [tex3]z1 = cos45 + isen45[/tex3]
[tex3]z2 = cos105 + isen105[/tex3]
[tex3]z3 = cos165 + isen165[/tex3]
[tex3]z4 = cos225 + isen225[/tex3]
[tex3]z5 = cos285 + isen285[/tex3]
[tex3]z6 = cos345 + isen345[/tex3]

Olá jacobi,

Quando você for postar uma solução tende analisar qual o nível de conhecimento do usuário, percebe que a questão proposta é "simples", isso indica que ele está começando a aprender.

A forma como você respondeu nem todos entenderão, você poderia ter explicado em como chegar em cada etapa...
Mas uma coisinha a tua soluação parece que está errada meu amigo.

Solução do problema

Vou resolver da mesma forma que o nosso amigo porém com mais detalhes, ele utilizou a segunda fórmula de Moivre. Dado um complexo qualquer $z=cos\theta +sen \theta$ temos que a raiz enésima de $z$ vale
$z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(cos\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot sen\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right)$ , onde $k\in \mathbb{Z}$ .

A fórmula é feia, mas veja como é simples a solução.
$z^6=-1$

Logo
$|z|=1$
$cos \theta =\frac{Re(z)}{|z|}$ , onde $Re(z)$ significa a parte real de $z$
$cos \theta =\frac{-1}{1}=-1\Longrightarrow \theta =\pi$

Assim temos
$z_k=1\cdot \left(cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)+i\cdot sen\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{6}\right)\right)$

Agora é só fazer $k=0,1,2,3,4,5$
$z_0=cos30^{\circ}+sen 30^{\circ}$
$z_1=cos(30^{\circ}+60^{\circ})+i\cdot sen (30^{\circ}+60^{\circ})=cos 90^{\circ}+i\cdot sin90^{\circ}$
$z_2=cos(90^{\circ}+60^{\circ})+i\cdotsen (90^{\circ}+60^{\circ})=cos 150^{\circ}+i\cdot sin150^{\circ}$
$z_3=cos(150^{\circ}+60^{\circ})+i\cdotsen (150^{\circ}+60^{\circ})=cos 210^{\circ}+i\cdot sin210^{\circ}$
$z_4=cos(210^{\circ}+60^{\circ})+i\cdotsen (210^{\circ}+60^{\circ})=cos 270^{\circ}+i\cdot sin270^{\circ}$
$z_5=cos(270^{\circ}+60^{\circ})+i\cdotsen (270^{\circ}+60^{\circ})=cos 330^{\circ}+i\cdot sin330^{\circ}$

As raízes enésimas estão em PA onde o primeiro termo é $\frac{\pi}{n}$ e razão $\frac{2\pi}{n}$ , sendo assim basta você encontrar o primeiro e ir somando $\frac{2\pi}{n}$ .

Grande abraço.

É mano, segura o tranco ai kkkk
Abraço

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