Circunferência inscrita
Seja [tex3]S[/tex3]
a área do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3]
de lados [tex3]a,b,c[/tex3]
e [tex3]r[/tex3]
o raio da circunferência inscrita, temos que [tex3]S=p\cdot r[/tex3]
.
Onde [tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3]
(semi perímetro)
Demonstração:
[tex3]S=S_{AOB}+S_{AOC}+S_{BOC}=\frac{c\cdot r}{2}+\frac{b\cdot r}{2}+\frac{a\cdot r}{2}=\frac{(a+b+c)\cdot r}{2}=p\cdot r[/tex3]
[tex3]\boxed{S=p\cdot r}[/tex3]
Quando o triângulo for retângulo o raio pode ser calculado da seguinte forma:
Da figura tiramos,
[tex3]a=(b-r)+(c-r)[/tex3]
[tex3]a=b+c-2r[/tex3]
[tex3]\boxed{r=\frac{b+c-a}{2}}[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------
Circunferência ex-inscrita
Seja [tex3]S[/tex3]
a área do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3]
de lados [tex3]a,b,c[/tex3]
e [tex3]r_a,r_b,r_c[/tex3]
os raios ex-inscritos, então temos:
[tex3]S=(p-a)\cdot r_a[/tex3]
[tex3]S=(p-b)\cdot r_b[/tex3]
[tex3]S=(p-c)\cdot r_c[/tex3]
Demonstração:
[tex3]S=S_{ACE}+S_{ABE}-S_{BCE}=\frac{b\cdot r_a}{2}+\frac{c\cdot r_a}{2}-\frac{a\cdot r_a}{2}=\frac{(b+c-a)\cdot r_a}{2}[/tex3]
Mas
[tex3]a+b+c-2a=2p-2a[/tex3]
[tex3]b+c-a=2(p-a)[/tex3]
Logo,
[tex3]S=\frac{(b+c-a)\cdot r_a}{2}=\frac{2(p-a)\cdot r_a}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=(p-a)\cdot r_a}[/tex3]
Analogamente temos,
[tex3]\boxed{S=(p-b)\cdot r_b}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=(p-c)\cdot r_c}[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------
Relação entre o circunferência inscrita e ex-inscrita.
[tex3]\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}[/tex3]
Demostração:
[tex3]\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{p-a}{S}+\frac{p-b}{S}+\frac{p-c}{S}=\frac{3p-(a+b+c)}{S}=\frac{p}{S}=\frac{1}{r}[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------
Circunferência circunscrita
Seja [tex3]S[/tex3]
a área do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3]
de lados [tex3]a,b,c[/tex3]
e R o raio da circunferência circunscrita, então [tex3]S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}[/tex3]
Demonstração:
Da Lei nos Senos temos:
[tex3]\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R[/tex3]
Também temos,
[tex3]S=\frac{a\cdot b\cdot \sin \angle C}{2}=\frac{a\cdot b\cdot c}{2\cdot 2R}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Demonstração - Circunferência inscrita, ex-inscrita e circunscrita
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Demonstração - Circunferência inscrita, ex-inscrita e circunscrita
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 12 Jul 2012, 22:35, em um total de 2 vezes.
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