Ensino Médio ⇒ Fundamentos da Matemática 2 - Logaritmos Tópico resolvido

[jrneliodias]

Estou travado nesse sistema:
[tex3]\begin{cases}x^{\log y} +y^{\log x}=200\\\sqrt[x]{(\log x\cdot \log y)^y}=1024\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}x^{\log y} +y^{\log x}=200\\\sqrt[x]{(\log x\cdot \log y)^y}=1024\end{cases}[/tex3]

Alguém poderia me ajudar?

[roberto]

seja: logx=a e logy=b , então: x=[tex3]10^{a}
e
y=10^{b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^{a}
e
y=10^{b}[/tex3]

Substituindo esses valores na 1ª eq. do sistema, teremos:
[tex3](10^{a})^{b}+(10^{b})^{a}=200[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](10^{a})^{b}+(10^{b})^{a}=200[/tex3]

=> 2.[tex3]10^{ab}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^{ab}[/tex3]

=2.[tex3]10^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^{2}[/tex3]

, logo: ab=2
Vamos para a 2ª eq. do sistema:
[tex3](a.b)^{\frac{10^b}{10^a}} = 2^{\frac{10^b}{10^a}} = 2^{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a.b)^{\frac{10^b}{10^a}} = 2^{\frac{10^b}{10^a}} = 2^{10}[/tex3]

=>
[tex3]\frac{10^b}{10^a}=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{10^b}{10^a}=10[/tex3]

=> [tex3]10^{b}=10^{a+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^{b}=10^{a+1}[/tex3]

logo: b=a+1
Juntemos as equações:
ab=2 e b=a+1 substitindo uma na outra, encontramos a=1 e b=2
Mas a=logx => 1=logx => x=10
e b=logy =>2=logy =>y=100
Se não entender pode perguntar!

[jrneliodias]

Entendi, muito obrigado cara