IME / ITA ⇒ (ITA - 2011) Geometria Espacial Tópico resolvido

[Leandro]

Bom, só pra deixar bem claro pra quem for responder: eu não entendi bulhufas dessa questão. Procurei no google e não achei nenhuma fonte que me fizesse entender o necessário pra resolvê-la. Agradeço muito a quem explicá-la.

Considere as afirmações:

I − Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida a = 120º.
II − Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 30º, 45º, 50º, 50º e 170º.
III − Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 vértices.
IV − A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices é 2880º.

Destas, é(são) correta(s) apenas

A ( ) II.
B ( ) IV.
C ( ) II e IV.
D ( ) I, II e IV.
E ( ) II, III e IV.

Resposta

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Gabarito: C

[poti]

Eu errei essa questão quando fiz essa prova. Você precisa saber um pouco de geometria de posição para fazê-la. Eu também estudei muito pouco isso e não posso te ajudar, mas qualquer material bom sobre Geometria de Posição vai te ajudar.

Abraço!

[Leandro]

Obrigado pela resposta, agora pelo menos sei sobre o que pesquisar.

[gabrielbpf]

Bom, já faz alguns dias da pergunta, mas mesmo assim vou postar como resolver, caso ainda precise.

I - Falsa, pois a soma das faces de um ângulo poliédrico têm que medir menos que 360º, do contrário as mesmas estariam num só plano, não determinando um sólido tridimensional.

II - Verdadeira: Em primeiro lugar, devemos verificar se as faces somam menos que 360º (pelo mesmo motivo da resolução da afirmação I). Logo: 30º + 45º + 50º + 50º + 170º = 345º < 360º. Além disso, cada face precisa ser menor que a soma das outras, então:
170º < 30º + 45º + 50º + 50º. (Claramente, as outras faces também não fugirão a essa regra)

III - Falsa, pois os poliedros convexos obedecem à relação de Euler: V + F = A + 2 (X)
E o número de arestas pode ser encontrado por: A = [3 * F3 (faces com três arestas) + 4 * F4 + 5 * F5 + 6 * F6] / 2 (Y)
De (X) e (Y) vem: V + 3 + 1 + 1 + 2 = 2 + [3 * 3 + 4 * 1 + 5 * 1 + 6 * 2] /2
V + 7 = 15 + 2 | V = 10

IV - Verdadeira: A soma das faces de um poliedro convexo obedece à seguinte relação: S = (V - 2) * 360º
S = (10 - 2) * 360º | S = 2880º

[Leandro]

Obrigado pela resposta, gabriel. Já tinha aprendido a resolver a questão mas tua resposta foi útil: não tinha percebido que a soma das faces de um ângulo poliédrico não pode ser 360º porque neste caso caracterizaria um plano. Isso me trouxe uma pergunta: o que daria caso a soma fosse 180º?

[gabrielbpf]

Leandro, caso a soma fosse 180º, não seriam coplanares todas as arestas. Imagine que três arestas convirjam para um mesmo ponto, além de que elas, duas a duas, formem entre si ângulos de 60º. Teremos três ângulos de 60º, cuja soma logicamente será de 180º, mas determinando três diferentes planos. O tetraedro regular é um exemplo no qual isso ocorre. Para entender melhor este caso, pesquise sobre tetraedros regulares e veja as imagens.
Espero ter ajudado! Abraço.

[Leandro]

Ajudou sim, e obrigado pela resposta novamente.