Olimpíadas

rean · Mensagem não lida por **rean** » Sáb 16 Jun, 2012 20:28

Calcule a área do quadrado cinza [tex3]ABCD[/tex3] da figura abaixo em função de "[tex3]a[/tex3] " e "[tex3]b[/tex3] ",sabendo que ao prolongar [tex3]\overline{BA}[/tex3] ,[tex3]\overline{AD}[/tex3] ,[tex3]\overline{CD}[/tex3] e [tex3]\overline{BC}[/tex3] encontra os pontos [tex3]P[/tex3] , [tex3]R[/tex3] , [tex3]Q[/tex3] e [tex3]S[/tex3] , tal que esses pontos são colineares,sendo [tex3]\overline{PQ} = a[/tex3] e [tex3]\overline{RS} = b[/tex3] .

: imagem.GIF (3.7 KiB) Exibido 1340 vezes

a) [tex3]ab[/tex3]
b) [tex3]a^{2}+b^{2}[/tex3]
c) [tex3]\sqrt {a} + \sqrt {b}[/tex3]
d [tex3]\left(\frac{ab}{\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}}\right)^2[/tex3]
e) [tex3]\frac{a + b }{\sqrt{a} + {\sqrt{b}[/tex3]

Resposta

D

Olá rean,
Acho que as alternativas estão incorretas, veja que se você fizer $a=b$ teríamos como área do quadrado $\frac{a^2}{2}$ , fazendo o mesmo nas alternativas verificamos que nenhuma satisfaz.

Uma outra coisinha, quando você for colocar o gabarito utilize a tag spoiler.

Grande abraço.

Vou postar o que fiz:

: imagem.GIF (4.24 KiB) Exibido 1297 vezes

Os triângulos LRS e PQT são semelhantes:

[tex3]\{senk=\frac{L}{a}\\senk=\frac{x}{b}[/tex3] $\Rightarrow \boxed{x=\frac{bL}{a}}$

[tex3]\{cosk =\frac{y}{a} \\ cosk=\frac{L}{b}[/tex3] $\Rightarrow \boxed{y=\frac{aL}{b}}$

Por semelhança temos:
$\frac{x}{L}=\frac{L}{y}=\frac{b}{a} \Rightarrow \boxed{L^2=xy}$

Por Pitágoras temos:

$b^2=L^2+x^2$
$a^2=L^2+y^2$

Somando:
$a^2+b^2=x^2+y^2+2\underbrace{L^2}_{xy}$
$a^2+b^2=(x+y)^2$

Substituindo os valores de x e y:

$a^2+b^2=\left(\frac{bL}{a}+\frac{aL}{b}\right)^2$
$a^2+b^2=\left(\frac{b^2L+a^2L}{ab}\right)^2$
$a^2b^2(a^2+b^2)=a^4L^2+2a^2 b^2 L^2+b^4L^2$
$a^2b^2\cancel{(a^2+b^2)}=L^2(a^2+b^2)^{\cancel{2}}$
$\boxed{\boxed{L^2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}}}$

Abraço.

Excelente theblackmamba,

Só arruma o teu sistema, onde era para ser seno você colocou cosseno e no cosseno passar para seno.

Aproveitando a mensagem vou deixar uma forma alternativa. Todos que tiverem fazendo uma prova de vestibular devem buscar uma estratégia para resolver rápido, normalmente se consegue isso trabalhando com casos particulares, mas isso só é válido para questões objetivas, se for uma questão aberta teremos que resolver como o nosso amigo theblackmamba fez.

Mas chega de trova e vamos a resolução.

O truque para resolver está questão está em unir os pontos $D,P,R$ e fazer $a=b$ , com isso o quadrilátero $PBSD$ será um quadrado.

: area_quadrado.png (9.25 KiB) Exibido 1279 vezes

Por Pitágoras temos,
$a^2=\ell^2+\ell^2 =2\ell^2$

Portanto a área vale
$A=\ell^2=\frac{a^2}{2}$ . Pronto.

Agora é só fazer $a=b$ nas alternativas e ver qual teria o mesmo resultado.

Abraço pessoal.

Já arrumei, Filipe.

A sua dica para as provas será essencial.

Valeu, um abraço.

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