Pré-Vestibular(FUVEST - 2000) Inequações do 1° Grau

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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paulo testoni
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(FUVEST - 2000) Inequações do 1° Grau

Mensagem não lida por paulo testoni »

Dois colecionadores de selos têm, juntos, 500 selos. Cada colecionador comprou um álbum para colocar seus selos. Os dois álbuns eram idênticos, tendo o mesmo número de páginas.
Se o primeiro colecionador colocar exatamente 21 selos em cada página, ele vai conseguir colocar todos os seus selos e usar todas as páginas do álbum.
Se o segundo colecionador colocar 20 de seus selos em cada página do álbum, sobrarão alguns selos. Caso ele coloque 23 selos em cada página, sobra pelo menos uma, totalmente vazia, podendo haver ainda uma outra página com menos de 23 selos.
Quantas páginas há no álbum?



Paulo Testoni

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Eduardo
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Re: (FUVEST - 2000) Inequações do 1° Grau

Mensagem não lida por Eduardo »

Aí vai a resposta.

[tex3]x + y = 500[/tex3] (I)

[tex3]x = 21k[/tex3] (II)

[tex3]y = 20k + a[/tex3] [tex3](a > 0)[/tex3] (III)

[tex3]y = 23(k-b) + c[/tex3] [tex3](1 \leq b \leq k,\, 0 < c < 23)[/tex3] (IV)


[tex3]41k + a = 500[/tex3]

[tex3]a = 500 - 41k[/tex3]

[tex3]a > 0 ;\, 500 - 41k > 0 ;\, k < 500/41 ;\, k \leq 12[/tex3]

[tex3]44k - 23b + c = 500[/tex3]

[tex3]0 \leq 500 - 44k + 23b \leq 23[/tex3] (V)


Primeira parte da inequação V

[tex3]500 - 44k + 23b \leq 23[/tex3]

[tex3]44k \geq 477 + 23b[/tex3]

para [tex3]b = 1 ;\, k > 11[/tex3]

para [tex3]b = 2 ;\, k > 11[/tex3]

para [tex3]b > 2 ;\, k > 12[/tex3] (impossível)

Segunda parte da inequação V

[tex3]0\leq 500 - 44k + 23b[/tex3]

[tex3]44k \leq (500+23b)[/tex3]

para [tex3]b = 1 ;\, k\leq 11[/tex3] (impossível)

para [tex3]b = 2;[/tex3] [tex3]k \leq 12[/tex3]

Portanto:

[tex3]k = 12[/tex3]

Última edição: caju (Sex 08 Nov, 2019 11:23). Total de 7 vezes.
Razão: tex --> tex3



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Eduardo
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Re: (FUVEST - 2000) Inequações do 1° Grau

Mensagem não lida por Eduardo »

Segue a explicação:

[tex3]x =[/tex3] número de selos de quem usou [tex3]20[/tex3] por página

[tex3]y =[/tex3] número de selos do outro

[tex3]x + y = 500[/tex3]

[tex3]k[/tex3] número de páginas

[tex3]x = 21k[/tex3]

[tex3]a =[/tex3] número de selos que sobram da primeira vez [tex3]( a > 0 )[/tex3]

[tex3]y = 20k + a[/tex3]

[tex3]b =[/tex3] número de paginas que nao se usaram por completo (pelo menos [tex3]1[/tex3] ) [tex3](b \geq 1)[/tex3]

[tex3]c =[/tex3] número de selos que sobraram na folha [tex3](0 < c < 23)[/tex3]

[tex3]y = 23(k - b) + c[/tex3]

para a resposta achada:

se [tex3]k = 12[/tex3]

[tex3]x = 21\cdot 12 = 252 ;[/tex3] [tex3]y = 248[/tex3]

[tex3]20 \cdot 12 + a = 248 ;[/tex3] [tex3]a = 8[/tex3]

[tex3]b = 2[/tex3] (como visto anteriormente)

[tex3]23 \cdot (12-2) + c = 248 ;[/tex3] [tex3]c = 18[/tex3]

resposta correta

Última edição: caju (Sex 08 Nov, 2019 11:24). Total de 4 vezes.
Razão: tex --> tex3



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