Olimpíadas

Existem números inteiros ímpares $a_1,a_2,...,a_{2010}$ tais que $\sum_{i=1}^{2009}i\cdot a_i ^4=2010\cdot a_{2010}^4$ ?

Resposta

Não

theblackmamba escreveu:Existem números inteiros ímpares $a_1,a_2,...,a_{2010}$

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[tex3]a_1,a_2,...,a_{2010}[/tex3]

tais que $\sum_{i=1}^{2009}i\cdot a_i ^4=2010\cdot a_{2010}^4$

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[tex3]\sum_{i=1}^{2009}i\cdot a_i ^4=2010\cdot a_{2010}^4[/tex3]

?

Resposta

Não

$\sum_{i=1}^{2009}i\cdot a_i ^4=\sum_{i=1}^{1005}[(2i-1)\cdot a_{2i-1}^4]+\sum_{i=1}^{1004}(2i\cdot a_{2i}^4})$

Veja que $[(2i-1)\cdot a_{2i-1}^4]$ equivale a um número ímpar, pois $2i-1$ e $a_{2i-1}^4$ são ímpares para todo $i\in\mathbb{Z}$ , de modo que $\sum_{i=1}^{1005}[(2i-1)\cdot a_{2i-1}^4]$ equivale a um número ímpar, pois é a soma de uma quantidade ímpar de números ímpares.

Da mesma forma, $\sum_{i=1}^{1004}(2i\cdot a_{2i}^4})$ é um número par.

Então $\sum_{i=1}^{1005}[(2i-1)\cdot a_{2i-1}^4]+\sum_{i=1}^{1004}(2i\cdot a_{2i}^4})$ é um número ímpar, nunca podendo ser igual a $2010\cdot a_{2010}^4$ que é um número par.

Resposta

Correto ?

dLyceeLaReine

Apesar de antiga, vai minha contribuição visto que ainda hoje há pessoas que procuram por esta questão.

theblackmamba escreveu:Existem números inteiros ímpares $a_1,a_2,...,a_{2010}$

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[tex3]a_1,a_2,...,a_{2010}[/tex3]

tais que $\sum_{i=1}^{2009}i\cdot a_i ^4=2010\cdot a_{2010}^4$

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[tex3]\sum_{i=1}^{2009}i\cdot a_i ^4=2010\cdot a_{2010}^4[/tex3]

?

Resposta

Não

Haja visto que $\sum_{i=1}^{2009}i\cdot a_i ^4=1a_1^4+2a_2^4+3a_3^4+...+2008a_{2008}^4+2009a_{2009}^4$ .
Oras, se [tex3]k[/tex3] é ímpar então [tex3]k^4[/tex3] também é, e se
i) [tex3]n[/tex3] é ímpar, [tex3]nk^4[/tex3] é ímpar;
ii) [tex3]n[/tex3] é par, [tex3]nk^4[/tex3] é par.
Logo $1a_1^4+2a_2^4+3a_3^3+...+2008a_{2008}^4+2009a_{2009}^4$ é ímpar.
Como [tex3]2010\cdot a_{2010}^4[/tex3] é par não é possível ocorrer a igualdade em
$\sum_{i=1}^{2009}i\cdot a_i ^4=2010\cdot a_{2010}^4$
e assim não é possível existir tais números ímpares que satisfaçam o enunciado.

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