(IMO) Aritmética

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Cássio: Mensagens: 895; Registrado em: 12 Dez 2011, 14:05; Última visita: 29-09-22; Localização: PETROLINA/PE; Agradeceu: 133 vezes; Agradeceram: 467 vezes

Mai 2012 08 18:09

(IMO) Aritmética

Mensagem não lidapor Cássio » 08 Mai 2012, 18:09

Mensagem não lida por Cássio » 08 Mai 2012, 18:09

Ache todos os $n\in\mathbb{N}$ tais que o produto dos algarismos da representação decimal de $n$ seja igual a $n^2-10n-22.$

Editado pela última vez por Cássio em 08 Mai 2012, 18:09, em um total de 1 vez.

"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
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Mai 2012 08 23:22

Re: (IMO) Aritmética

Mensagem não lidapor manerinhu » 08 Mai 2012, 23:22

Mensagem não lida por manerinhu » 08 Mai 2012, 23:22

vi essa resposta na internet, alguém confirma?:

N Algarismos de [tex3]n[/tex3] são [tex3]n1, n2, n3,[/tex3] etc...

[tex3]n = 10^{(N-1)}*n1 + 10^{(N-2)}*n2 + 10^{(N-3)}*n3[/tex3] ...

[tex3]n1*n2*n3...= (10^{(N-1)}*n1 + 10^{(N-2)}*n2 + 10^{(N-3)}*n3 ...)^2[/tex3]
[tex3]-10(10^{(N-1)}*n1 + 10^{(N-2)}*n2 + 10^{(N-3)}*n3 ...) - 22[/tex3]

[tex3]r: 12[/tex3]

e é unico por sinal, ^2 cresce muito mais que multiplicação de algarismos

Editado pela última vez por manerinhu em 08 Mai 2012, 23:22, em um total de 1 vez.

manerinhu

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por Auto Excluído (ID:17906) » 18 Abr 2017, 21:45 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Sejam p e q números inteiros estritamente positivos tais que:
\frac{p}{q} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... - \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319} .
Mostre que 1979 divide p.

Últ. msg

A dica que eu tenho para essa questão é usar a Identidade de Catalão, mas não conheço e não sei nada sobre! Caso você saiba, espero ter ajudado...

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Primeira Postagem

Para cada inteiro positivo n , seja s(n) a soma dos quadrados dos algarismos de n . Por exemplo s(15)=1^2+5^2=26 . Determine todos os inteiros n\geq1 tal que s(n)=n .

Últ. msg

n = \overline{x_kx_{k-1}...x_1x_0}_{(10)} = 10^{k}x_k + 10^{k-1}x_{k-1} + ... + 10x_1 + x_0 \ge 10^k
s(n) = \sum_{i=0}^{k}x_i^2 \le \sum_{i=0}^{k}9^2 = 9^2(k+1)
10^k\le 9^2(k+1)
para k = 3 isso...

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Primeira Postagem

Seja f: \mathbb R \to \mathbb R uma função que satisfaz

f(x+y) \leq \ yf(x) + f(f(x))

para todos os reais \ x \ \ e \ \ y . Prove que f(x) = 0 para todos os x \leq \ 0

Últ. msg

Olá RafaeldeLima,

Escrevendo y=t-x :

f(x+y) \leq \ yf(x) + f(f(x))
f(t) \leq \ (t-x)f(x) + f(f(x)) \ \ \ (I)

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Prove que a fração \left(\frac{21n+4}{14n+3}\right) é irredutível, para todo n inteiro.

---------

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Primeira Postagem

Seja a_1\geq ...\geq a_n\geq a_{n+1}=0 uma sequência de números reais. Prove isto:

\sqrt{\sum_{k=1}^n\,\lef}(a_k) \leq \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_k+1}))

Últ. msg

partindo da seguinte condição, ao elevar ao quadrado a expressão e colocando o ultimo termo para fora do somatorio

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