a) [tex3]-2[/tex3]
b) [tex3]-1[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]1[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]
Resposta
B)
Pré-Vestibular ⇒ (Mackenzie) Polinômios Tópico resolvido
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theblackmamba 
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Abr 2012
21
15:12
(Mackenzie) Polinômios
Se [tex3]R(x)[/tex3]
é o resto da divisão de [tex3](x^{80}+3x^{79}-x^2-x-1)\div(x^2+2x-3)[/tex3]
, então [tex3]R(0)[/tex3]
vale:
a) [tex3]-2[/tex3]
b) [tex3]-1[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]1[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]
B)
a) [tex3]-2[/tex3]
b) [tex3]-1[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]1[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]
B)
Última edição: theblackmamba (Sáb 21 Abr, 2012 15:12). Total de 2 vezes.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
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Abr 2012
21
15:57
Re: (Mackenzie) Polinômios
Boa Tarde.
[tex3]x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1)[/tex3]
[tex3]x^{80} + 3x^{79} - x^2 - x - 1 = (x-1)(x-2)Q(x) + R(x)[/tex3]
Divisor de 2º grau, resto de 1º grau no mínimo.
[tex3]x^{80} + 3x^{79} - x^2 - x - 1 = (x-1)(x-2)Q(x) + ax + b[/tex3]
Veja:
[tex3]P(1) = 1 = a + b[/tex3]
[tex3]P(2) = 2^{80} + 3.2^{79} - 7 = 2a + b[/tex3]
Rearranjando:
[tex3]2 = 2a + 2b[/tex3]
[tex3]5.2^{79} - 7 = 2a + b[/tex3]
Subtraindo:
[tex3]\boxed{b = 9 - 5.2^{79}}[/tex3]
Jogando na primeira equação:
[tex3]a = 1 - b[/tex3]
[tex3]\boxed{a = 5.2^{79} - 8}[/tex3]
Nosso [tex3]R(x)[/tex3] vale portanto: [tex3]ax + b[/tex3] (O LaTeX não deixa eu escrever as expressão por algum motivo sobrenatural, mas é só substituir as constantes)
Para [tex3]x = 0[/tex3] , temos [tex3]\boxed{R(0) = 9 - 5.2^{79}}[/tex3]
Portanto, eu e o Wolfram acreditamos que essa questão está furada.
Abraço!
[tex3]x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1)[/tex3]
[tex3]x^{80} + 3x^{79} - x^2 - x - 1 = (x-1)(x-2)Q(x) + R(x)[/tex3]
Divisor de 2º grau, resto de 1º grau no mínimo.
[tex3]x^{80} + 3x^{79} - x^2 - x - 1 = (x-1)(x-2)Q(x) + ax + b[/tex3]
Veja:
[tex3]P(1) = 1 = a + b[/tex3]
[tex3]P(2) = 2^{80} + 3.2^{79} - 7 = 2a + b[/tex3]
Rearranjando:
[tex3]2 = 2a + 2b[/tex3]
[tex3]5.2^{79} - 7 = 2a + b[/tex3]
Subtraindo:
[tex3]\boxed{b = 9 - 5.2^{79}}[/tex3]
Jogando na primeira equação:
[tex3]a = 1 - b[/tex3]
[tex3]\boxed{a = 5.2^{79} - 8}[/tex3]
Nosso [tex3]R(x)[/tex3] vale portanto: [tex3]ax + b[/tex3] (O LaTeX não deixa eu escrever as expressão por algum motivo sobrenatural, mas é só substituir as constantes)
Para [tex3]x = 0[/tex3] , temos [tex3]\boxed{R(0) = 9 - 5.2^{79}}[/tex3]
Portanto, eu e o Wolfram acreditamos que essa questão está furada.
Abraço!
Última edição: poti (Sáb 21 Abr, 2012 15:57). Total de 2 vezes.
VAIRREBENTA!
Abr 2012
23
10:46
Re: (Mackenzie) Polinômios
Sendo [tex3]q(x)[/tex3]
é um polinómio do 2º grau, o resto [tex3]r(x)[/tex3]
é no máximo um polinômio do 1º grau logo [tex3]r(x)=ax+b[/tex3]
podendo ser um polinômio de grau zero [tex3]r(x)= b[/tex3]
.
Por definição da divisão euclidiana: [tex3]p(x)= d(x)\cdot q(x) + r(x)[/tex3]
Como [tex3]r(x)[/tex3] (resto) pode ser um polinômio de 1º grau ou um polinômio constante ( grau 0), então:
[tex3]r(x) = ax+b[/tex3]
[tex3]r(x) = b[/tex3]
Observe que o caso [tex3]r(x) = b[/tex3] é apenas uma possibilidade em particular. Esse caso ocorre quando [tex3]a = 0[/tex3]
Teremos então apenas um caso geral [tex3]p(x) = d(x)\cdot q(x) + ax + b[/tex3] .
Dando sequência; calculando as raízes de [tex3]q(x)[/tex3] por soma e produto teremos:
[tex3]S= \frac{-b}{a} =\frac{-(-3)}{1} = 3[/tex3]
[tex3]P= \frac{c}{a}= \frac{2}{1}= 2[/tex3]
A soma é [tex3]3[/tex3] e o produto é [tex3]2[/tex3] temos [tex3]x'= 1[/tex3] ou [tex3]x"=2[/tex3]
Em seguida, para [tex3]x = 1[/tex3] e [tex3]x = 2[/tex3] , temos que [tex3]q(1) = q(2) = 0[/tex3] , você poderá fazer o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}(1)^{80}+3(1)^{79}-(1)^2-(1)-1=a(1)+b\\(2)^{80}+3(2)^{79}-(2)^2-(2)-1=a(2)+b\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}1+3-1-2=a+b\\2^{80}+3\cdot (2)^{79}-4-3=2a+b\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}1=a+b\\2^{79}(2^1+3)-7=2a+b\end{cases}[/tex3]
Multiplicando [tex3]1= a+b[/tex3] por [tex3]-(1)[/tex3] temos [tex3]-1=-a-b[/tex3]
Resolvendo o sistema pela soma das equações
[tex3]\begin{cases}-1=-a-b\\2^{79}(2^1+3)-7=2a+b\end{cases}[/tex3]
Ficamos
[tex3]2^{79}\cdot (5)-8=a[/tex3]
[tex3]-b= -1+a[/tex3] logo [tex3]b=1-a[/tex3] , então:
[tex3]b=1-2^{79}\cdot (5)+8[/tex3]
[tex3]b= -2^{79}\cdot (5)+9[/tex3]
Ao resolver o sistema acima você encontrar os valores [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] . Com isso, poderá determinar [tex3]R(0)[/tex3]
Como [tex3]ax+b = r(x)[/tex3] temos [tex3]r(x)= 2^{79}\cdot 5-8(x) -2^{79}\cdot 5+9[/tex3]
Espero que ajude!
Por definição da divisão euclidiana: [tex3]p(x)= d(x)\cdot q(x) + r(x)[/tex3]
Como [tex3]r(x)[/tex3] (resto) pode ser um polinômio de 1º grau ou um polinômio constante ( grau 0), então:
[tex3]r(x) = ax+b[/tex3]
[tex3]r(x) = b[/tex3]
Observe que o caso [tex3]r(x) = b[/tex3] é apenas uma possibilidade em particular. Esse caso ocorre quando [tex3]a = 0[/tex3]
Teremos então apenas um caso geral [tex3]p(x) = d(x)\cdot q(x) + ax + b[/tex3] .
Dando sequência; calculando as raízes de [tex3]q(x)[/tex3] por soma e produto teremos:
[tex3]S= \frac{-b}{a} =\frac{-(-3)}{1} = 3[/tex3]
[tex3]P= \frac{c}{a}= \frac{2}{1}= 2[/tex3]
A soma é [tex3]3[/tex3] e o produto é [tex3]2[/tex3] temos [tex3]x'= 1[/tex3] ou [tex3]x"=2[/tex3]
Em seguida, para [tex3]x = 1[/tex3] e [tex3]x = 2[/tex3] , temos que [tex3]q(1) = q(2) = 0[/tex3] , você poderá fazer o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}(1)^{80}+3(1)^{79}-(1)^2-(1)-1=a(1)+b\\(2)^{80}+3(2)^{79}-(2)^2-(2)-1=a(2)+b\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}1+3-1-2=a+b\\2^{80}+3\cdot (2)^{79}-4-3=2a+b\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}1=a+b\\2^{79}(2^1+3)-7=2a+b\end{cases}[/tex3]
Multiplicando [tex3]1= a+b[/tex3] por [tex3]-(1)[/tex3] temos [tex3]-1=-a-b[/tex3]
Resolvendo o sistema pela soma das equações
[tex3]\begin{cases}-1=-a-b\\2^{79}(2^1+3)-7=2a+b\end{cases}[/tex3]
Ficamos
[tex3]2^{79}\cdot (5)-8=a[/tex3]
[tex3]-b= -1+a[/tex3] logo [tex3]b=1-a[/tex3] , então:
[tex3]b=1-2^{79}\cdot (5)+8[/tex3]
[tex3]b= -2^{79}\cdot (5)+9[/tex3]
Ao resolver o sistema acima você encontrar os valores [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] . Com isso, poderá determinar [tex3]R(0)[/tex3]
Como [tex3]ax+b = r(x)[/tex3] temos [tex3]r(x)= 2^{79}\cdot 5-8(x) -2^{79}\cdot 5+9[/tex3]
Espero que ajude!
Última edição: Diegooo (Seg 23 Abr, 2012 10:46). Total de 2 vezes.
-
jose carlos de almeida 
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Abr 2012
24
09:40
Re: (Mackenzie) Polinômios
Senhores, acredito que o erro desta questão esteja no polinômio [tex3]p(x)=x^2-3x+2[/tex3]
, pois para que o resto seja [tex3]-1[/tex3]
como consta na múltipla escolha o polinômio correto seria [tex3]p(x)=x^2+2x-3[/tex3]
.
Vejamos como ficaria.
[tex3]x^{80}+3\cdot{x}^{79}-x^2-x-1=(x^2+2x-3)Q(x)+ax+b=(x+3)(x-1)Q(x)+ax+b[/tex3]
Assim, para [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]x=-3[/tex3] , temos:
[tex3](1)^{80}+3\cdot(1)^{79}-(1)^2-1-1=a\cdot 1+b\therefore{a}+b=1[/tex3]
[tex3](-3)^{80}+3\cdot(-3)^{79}-(-3)^2-1-1=a\cdot(-3)+b\therefore{-3a}+b=-7[/tex3]
Resolvendo o sistema encontramos [tex3]a=2[/tex3] e [tex3]b=-1[/tex3]
Logo, [tex3]R(x)=2x-1[/tex3] e [tex3]R(0)=-1[/tex3]
Abraços.
Vejamos como ficaria.
[tex3]x^{80}+3\cdot{x}^{79}-x^2-x-1=(x^2+2x-3)Q(x)+ax+b=(x+3)(x-1)Q(x)+ax+b[/tex3]
Assim, para [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]x=-3[/tex3] , temos:
[tex3](1)^{80}+3\cdot(1)^{79}-(1)^2-1-1=a\cdot 1+b\therefore{a}+b=1[/tex3]
[tex3](-3)^{80}+3\cdot(-3)^{79}-(-3)^2-1-1=a\cdot(-3)+b\therefore{-3a}+b=-7[/tex3]
Resolvendo o sistema encontramos [tex3]a=2[/tex3] e [tex3]b=-1[/tex3]
Logo, [tex3]R(x)=2x-1[/tex3] e [tex3]R(0)=-1[/tex3]
Abraços.
Última edição: jose carlos de almeida (Ter 24 Abr, 2012 09:40). Total de 2 vezes.
JOSE CARLOS
-
theblackmamba
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Abr 2012
24
17:30
Re: (Mackenzie) Polinômios
Olá verifiquei a prova novamente e constatei o erro, josé carlos está certo !! Grande abraço.
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