Olá theblackmamba,
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[tex3]\sum F=0[/tex3]
Em [tex3]x[/tex3]
:
[tex3]N_2\cos (\alpha)=P\sen (\alpha)[/tex3]
[tex3]N_2=P\tan(\alpha)\hspace{20pt}(1)[/tex3]
Em [tex3]y[/tex3]
:
[tex3]N_1+N_2\sen (\alpha)=P\cos (\alpha)[/tex3]
[tex3]\sum M_o=0[/tex3]
[tex3]P\cdot (d_1+d_2)=N_1(d_1+d_2+d_3)\hspace{20pt}(2)[/tex3]
As distâncias valem:
[tex3]d_1+d_2=\frac{L}{2}\cos (\alpha)[/tex3]
[tex3]d_1+d_2+d_3=2R\cos (\alpha)[/tex3]
Logo,
[tex3]P\cdot \frac{L}{2}\cos (\alpha)=N_12R\cos (\alpha)[/tex3]
[tex3]N_1=\frac{PL}{4R}\hspace{20pt}(3)[/tex3]
De [tex3](1),(3)[/tex3]
em [tex3](2)[/tex3]
[tex3]\frac{PL}{4R}+P\tan(\alpha)\sen (\alpha)=P\cos (\alpha)[/tex3]
[tex3]L\cos (\alpha)+4R\sen ^2(\alpha)=4R\cos ^2(\alpha)[/tex3]
[tex3]8R\cos ^2(\alpha)-\cos (\alpha)-4R=0[/tex3]
[tex3]\cos (\alpha)=\frac{L\pm \sqrt{L^2+4\cdot 8R\cdot 4R}}{2\cdot 8R}[/tex3]
, mas o valor negativo não serve.
[tex3]\cos (\alpha)=\frac{L +\sqrt{L^2+128R}}{16R}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{\alpha=\arccos \left(\frac{L+\sqrt{L^2+128R}}{16R}\right)}[/tex3]
Abraço.