Pré-Vestibular(UFV) Polinômio Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Diegooo
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(UFV) Polinômio

Mensagem não lida por Diegooo »

Determine:

a) As raízes complexas da equação [tex3]x^3+8=0[/tex3]
b) O polinômio p(x) de grau 5, sabendo que as raízes complexas da equação [tex3]x^3+8=0[/tex3] são também raízes do polinômio, que [tex3]p(0)= -8[/tex3] , que a soma das raízes de [tex3]p(x)[/tex3] é [tex3]1[/tex3] e que o produto das mesmas é [tex3]16[/tex3] .

Resposta:
Resposta

a) S={2, 2 cis 120º, 2 cis 240º}
b) p(x) = [tex3]\frac{x^5}{2} - \frac{x^4}{2} -x^3+4x^2-4x-8[/tex3]

Última edição: Diegooo (Sáb 14 Abr, 2012 11:24). Total de 1 vez.



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Cássio
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Abr 2012 14 15:37

Re: (UFV) Polinômio

Mensagem não lida por Cássio »

Diegooo escreveu:Determine:

a) As raízes complexas da equação [tex3]x^3+8=0[/tex3]
b) O polinômio p(x) de grau 5, sabendo que as raízes complexas da equação [tex3]x^3+8=0[/tex3] são também raízes do polinômio, que [tex3]p(0)= -8[/tex3] , que a soma das raízes de [tex3]p(x)[/tex3] é [tex3]1[/tex3] e que o produto das mesmas é [tex3]16[/tex3] .

Resposta:
Resposta

a) S={2, 2 cis 120º, 2 cis 240º}
b) p(x) = [tex3]\frac{x^5}{2} - \frac{x^4}{2} -x^3+4x^2-4x-8[/tex3]
a) x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)=0

\Longleftrightarrow \ \begin{cases} \ x+2=0 \\ ou \\ x^2-2x+4=0\end{cases}

\Longrightarrow \ x=-2 ou x=1+i\sqrt{3} ou x=1-i\sqrt{3}

b) Como P(x) é de 5º grau, então ele pode ser escrito na forma
P(x)=a(x+2)[x-(1+\sqrt{3})][x-(1-\sqrt{3})](x-\alpha)(x-\beta)
onde \alpha e \beta são as outras raízes de P.

Temos que P(0)=a(2)(-1-\sqrt{3})(-1+\sqrt{3})(-\alpha)(-\beta)=-8

\Longleftrightarrow \ 2a(1+\sqrt{3})(-1+\sqrt{3})(\alpha)(\beta)=8

\Longleftrightarrow \ 4a\alpha\beta=8

\Longleftrightarrow \ a\alpha\beta=2

Sabemos também que a soma das raízes é 1, ou seja:
-2+1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+\alpha+\beta=1
\Longleftrightarrow \ \alpha+\beta=1.
E temos que o produto das raízes é 16, daí que:
-2\cdot(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})\alpha\beta=16
\Longleftrightarrow \ -2(-2)\alpha\beta=16
\Longleftrightarrow \ \alpha\beta=4
Como já tinhamos encontrado que a\alpha\beta=2 e encontramos agora que \alpha\beta=4, então já sabemos que a=\dfrac{1}{2}.

Agora falta resolver o sistema:
\begin{cases}\alpha+\beta=1\\ \alpha\beta=4\end{cases}
\alpha\beta=\alpha(1-\alpha)=4

\Longleftrightarrow \ \alpha^2-\alpha+4=0

\Longleftrightarrow \  x=\dfrac{1\pm i\sqrt{15}}{2}

Logo, \beta=1-\alpha=1-\dfrac{1\pm i\sqrt{15}}{2}=\dfrac{1\mp i\sqrt{15}}{2}

Então
P(x)=\dfrac{1}{2}(x+2)[x-(1+\sqrt{3})][x-(1-\sqrt{3})]\left(x-\dfrac{1+i\sqrt{15}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-i\sqrt{15}}{2}\right)
P(x)=\dfrac{x^5}{2}-\dfrac{x^4}{2}-\dfrac{19 x^3}{4}+x^2+\dfrac{25 x}{2}+7
Resposta

Diegooo, nossas respostas não bateram... Posso ter errado em alguma parte aí.

Última edição: Cássio (Sáb 14 Abr, 2012 15:37). Total de 1 vez.


"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
Charles Churchman

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Diegooo
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Re: (UFV) Polinômio

Mensagem não lida por Diegooo »

[tex3]P(x)= a(x+2)[x-(1+i\sqrt{3})][x-(1-i\sqrt{3}](x-\alpha)(x-\beta)[/tex3]
[tex3]P(x)= a(x+2)[(x-1)-i\sqrt{3})][(x-1)+i\sqrt{3}](x-\alpha)(x-\beta)[/tex3]
[tex3]P(x)= a(x+2)[(x-1)^2-(i\sqrt{3})^2](x-\alpha)(x-\beta)[/tex3]
[tex3]P(x)= a(x+2)[(x^2-2x+1)-(-3)](x-\alpha)(x-\beta)[/tex3]
[tex3]P(x)= a(x+2)(x^2-2x+4)(x-\alpha)(x-\beta)[/tex3]

Realmente as contas acima estão corretas!

Eu refiz os cálculos e achei um resultado diferente!

[tex3]P(x)=a(x+2)[x-(1+i\sqrt{3}][x-(1-i\sqrt{3}](x-\alpha)(x-\beta)[/tex3]
[tex3]P(x)=a(x+2)[(x-1)-i\sqrt{3}][(x-1)+i\sqrt{3}](x-\alpha)(x-\beta)[/tex3]
[tex3]P(0)=a(0+2)[(0-1)-i\sqrt{3}][(0-1)+i\sqrt{3}](0-\alpha)(0-\beta)=-8[/tex3]
[tex3]a(+2)[(-1)-i\sqrt{3}][(-1)+i\sqrt{3}](-\alpha)(-\beta)=-8[/tex3]
[tex3]a(+2)[(-1)^2-(i\sqrt{3})^2](-\alpha)(-\beta)=-8[/tex3]
[tex3]a(+2)(1+3)(-\alpha)(-\beta)=-8[/tex3]
[tex3](2a)(4)(-\alpha)(-\beta)=-8[/tex3]
[tex3](2a)(-\alpha)(-\beta)=-2[/tex3]
[tex3]2a.\alpha.\beta=-2[/tex3]

Você concorda?

Usando Girard

A soma das raízes desse polinômio

[tex3]x1+x2+x3+x4+x5= -\frac{b}{a}[/tex3]

[tex3](-2)+[1+i\sqrt{3}]+[1-i\sqrt{3}]+(\alpha)+(\beta)=1[/tex3]
[tex3](-2)+(2)+(\alpha)+(\beta)=1[/tex3]
[tex3](\alpha)+(\beta)=1[/tex3]

Usando o produto das raízes

[tex3]x1.x2.x3.x4.x5= -\frac{f}{a}[/tex3]
[tex3](-2).[1+i\sqrt{3}].[1-i\sqrt{3}].(\alpha).(\beta)=16[/tex3]
[tex3](-2).[(1)^2-(i\sqrt{3})^2].(\alpha).(\beta)=16[/tex3]
[tex3](-2).(4).(\alpha).(\beta)=16[/tex3]
[tex3](\alpha).(\beta)=-2[/tex3]

Como já tinhamos encontrado que [tex3]2a.\alpha.\beta=-2[/tex3] e encontramos agora que [tex3](\alpha).(\beta)=-2[/tex3] , então já sabemos que

[tex3]2a.(-2)=-2[/tex3]
[tex3]a=\frac{1}{2}[/tex3]

Fazendo o sistema

[tex3](\alpha).(\beta)=-2[/tex3]
[tex3](\alpha)+(\beta)=1[/tex3]

[tex3](\alpha).(1-\alpha)=-2[/tex3]

[tex3]\alpha - \alpha^2+2=0[/tex3]

[tex3]\alpha^2 - \alpha-2=0[/tex3]

[tex3]\Delta= (-1)^2-4(1)(-2)[/tex3]

[tex3]\Delta= 9[/tex3]

[tex3]\alpha'=2 e \alpha"=-1[/tex3]

[tex3]\beta= 1-\alpha = 1-(2) ou 1-(-1)[/tex3]

[tex3]\beta = -1 ou \beta = 2[/tex3]
Última edição: Diegooo (Dom 15 Abr, 2012 21:39). Total de 5 vezes.



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FilipeCaceres
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Re: (UFV) Polinômio

Mensagem não lida por FilipeCaceres »

Olá Dieego,

Vou resolver a parte b.

A soma das raízes vale:
-2+(1+i\sqrt{3})+(1-i\sqrt{3})+x_4+x_5=1
-2+1+1+x_4+x_5=1
x_4+x_5=1

E o produto vale:
-2\cdot (1+i\sqrt{3})\cdot (1-i\sqrt{3})\cdot x_4\cdot x_5=16
-2\cdot 4\cdot x_4\cdot x_5=16
x_4\cdot x_5=-2

Assim temos,
\begin{cases}x_4+x_5=1\\x_4\cdot x_5=-2\end{cases}

Logo as outras raízes são:
(x_4,x_5)=(2,-1) ou (x_4,x_5)=(-1,2)

Pegando qualquer um dos pares podemos escrever o seguinte polinômio.
p(x)=a\cdot (x-2)\cdot(x+1)\cdot(x^3+8)

Do enunciado tiramos que:
p(0)=-8

Logo,
p(0)=a\cdot (0-2)\cdot (0+1)\cdot (0^3+8)
-8=a\cdot(-2)\cdot 1\cdot 8
a=\frac{1}{2}

Sendo assim temos,
p(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x+1)(x^3+8)

Calculando este produto chegamos no valor desejado:
\boxed{p(x)=\frac{x^5}{2}-\frac{x^4}{2}-x^3+4x^2-4x-8}

Abraço.

Última edição: FilipeCaceres (Dom 15 Abr, 2012 22:16). Total de 1 vez.



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