Ensino MédioInteiros Tópico resolvido

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theblackmamba
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Mar 2012 29 18:07

Inteiros

Mensagem não lida por theblackmamba »

Determine todos pares de inteiros (x,y) tais que 1+2^x+2^{x+1}=y^2.

Última edição: theblackmamba (Qui 29 Mar, 2012 18:07). Total de 1 vez.


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triplebig
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Mar 2012 30 19:24

Re: Inteiros

Mensagem não lida por triplebig »

Observamos que (0,2) é solução.

Temos que 3\cdot2^x + 1 deve ser um quadrado perfeito.
Analisando os últimos dígitos, temos que y deve ser um inteiro terminado em 3 ou 5.
Se é terminado em 5, então y = 5k. Assim:

3\cdot2^x = (5k+1)(5k-1)

A parcela da direita da igualdade só pode ter fatores 2 e apenas um fator 3.

No outro caso, chamando y=10k+3 , temos:

3\cdot2^x = 4(5k+1)(5k+2) .

Agora fica mais fácil de analisar. Falta considerar um monte de casos, mas creio que sai.

Última edição: triplebig (Sex 30 Mar, 2012 19:24). Total de 1 vez.



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Ivo213
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Re: Inteiros

Mensagem não lida por Ivo213 »

theblackmamba escreveu:Determine todos pares de inteiros (x,y) tais que 1+2^x+2^{x+1}=y^2.
Boa tarde!

1+2^x+2^{x+1}=y^2

y^{2} - 1 = 2^{x} + 2^{x+1} = 2^{x}(1+2) = 3*2^{x}

(y + 1)(y - 1) = 3*2^{x}

A diferença entre os dois fatores do primeiro membro é igual a:
(y + 1) - (y - 1) = y + 1 - y - 1 = 2

Podemos, então, fazer:
y + 1 = p
y - 1 = p - 2

p * (p-2) = 3 * 2^{x}

Passando para logaritmos, fica:
log(p) + log(p-2) = log(3) + x*log(2)
x*log(2) = log(p) + log(p-2) - log(3)

x = \frac{log(p) + log(p-2) - log(3)}{log(2)}

Como x deve ser inteiro, um dos dois primeiros logs do numerador deverá conter, entre diferentes quantidades de log(2), um (e somente um) log(3), para assim anular o log(3) negativo que está no final do numerador.

Assim sendo, podemos fazer:
p = 3*2^{t}
p-2 = 2^{u}

Cujas únicas soluções possíveis são três:
(i)
t = 0
u = 0

p = 3*2^0 = 3*1 = 3
p-2 = 2^0 = 1

3*1 + 1 = 4 = 2^{2}
1 + 2^{0} + 2^{1} = 2^{2}[/tex]
(x1,y1) = (0,2)

(ii)
t = 1
u = 2

p = 3*2^1 = 3*2 = 6
p-2 = 2^2 = 4

6*4 + 1 = 25 = 5^{2}
1 + 2^{3} + 2^{4} = 5^{2}
(x2,y2) = (3,5)

Agora, nesta, invertemos os valores entre p e p-2:

(iii)
t = 1
u = 3

p = 2^{3} = 8
p-2 = 3*2^{1}

6*8 + 1 = 49 = 7^{2}
1 + 2^{4} + 2^{5} = 7^{2}
(x3,y3) = (4,7)

==============================================================================
Uma outra maneira de resolver seria analisar a casa das unidades de y^{2}na equação:
3*2^{x} = y^{2} - 1

Os quadrados perfeitos terminam somente em:
0, 1, 4, 5, 6, 9

Portanto, as possíveis terminações de y^{2} - 1, seriam:
9, 0, 3, 4, 5, 8

Analisemos, então, essas possibilidades:
3*2^{x} = ___9\rightarrow Não seria possível, pois o produto só será ímpar para x=0.
3*2^{x} = ___0\rightarrow Também não, pois teria quer múltiplo de 10, ou seja, teria que ter fator primo 5.
3*2^{x} = ___3\rightarrow Única possibilidade é ser x=0; senão produto será par3*2^{0} = 3*1 = 3
3*2^{x} = ___4\rightarrow Única possibilidade é ser x=3\rightarrow 3*2^{3} = 3*8 = 24
3*2^{x} = ___5\rightarrow Não seria possível, pois seria um número divisível por 5, exigindo a presença do fator 5.
3*2^{x} = ___8\rightarrow Única possibilidade é ser x=4\rightarrow 3*2^{4} = 3*16 = 48

Assim, as soluções possíveis seriam as mesmas três, com x=0,3,4 e y=2,5,7 formando os pares:
(x,y) = (0,2) ou (3,5) ou (4,7)





Um abraço.
Última edição: Ivo213 (Sex 30 Mar, 2012 19:30). Total de 1 vez.



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Cássio
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Mar 2012 31 00:45

Re: Inteiros

Mensagem não lida por Cássio »

theblackmamba escreveu:Determine todos pares de inteiros (x,y) tais que 1+2^x+2^{x+1}=y^2.

Olá Theblackmamba! Acho que encontrei outra solução alternativa:

1+2^x+2^{x+1}=y^2\Longleftrightarrow \ 2^{x}+2^{x+1}=y^2-1\Longleftrightarrow  \ 3\cdot2^x=(y+1)(y-1)

Calculemos MDC(y+1,y-1)=(y+1-(y-1),y-1)=(2,y-1)=\begin{cases} 2, \ se \ y\  \text{impar}\\ 1, \ \text{se}\  y\  \text{  par}\end{cases}


No caso em que y é ímpar, significa que um dos fatores (y+1) ou (y-1) é divisível por uma potência de 2 e o outro fator é divisível somente por 2^1. Isso significa que podemos escrever um dos fatores como \alpha2^k e o outro como 2\beta, com MDC(\alpha,\beta)=1, ambos ímpares. Colocando na equação:

(\alpha2^k)(2\beta)=3\cdot 2^x

\alpha\beta2^{k+1}=3\cdot 2^x, como MDC(\alpha,\beta)=1, eles não podem ser pares, isso implica 2^{k+1}=2^x\Longrightarrow \ \begin{cases}x=k+1\\ \alpha\beta=3\end{cases}

Como \alpha e \beta são inteiros, temos as seguintes possibilidades:

\begin{cases} (I) \ \alpha=1, \ \beta=3\\(II) \  \alpha=3, \ \beta=1\\ (III) \ \alpha=-1, \ \ \beta=-3\\ (IV) \ \alpha=-3  \ \ \beta=-1\end{cases}

Para (I), temos:

Um dos fatores é 1\cdot2^k e o outro é 6. Se k=0, como y+1>y-1, temos que \begin{cases} y+1=6\\ y-1=1\end{cases}. Impossível.

Se k=1, como y+1>y-1, \begin{cases}y-1=2\\ y+1=6\end{cases} impossível.

Se k=2, um dos fatores será 2^2=4 e o outro 6. Como y+1>y-1, \Longrightarrow\begin{cases}y-1=4 \\ y+1=6\end{cases}\Longrightarrow \ y=5 \ e \ x=3.

Se k\ge 3\Longrightarrow \ \begin{cases}\alpha2^k=1\cdot2^k\ge 8>2\beta =6\\ y+1>y-1\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}y+1=2^k \\ y-1=6\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} y=2^k-1\\ y=7\end{cases} \Longrightarrow

\ k=3, \ \{y=7 \ e \ x=k+1=4\}



Para (II):

Um dos fatores é 3\cdot2^k e o outro é 2. Como \begin{cases} 3\cdot2^k>2, \ \forall \ k\in\mahtbb{Z_+}\\ y+1>y-1\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} y+1=3\cdot 2^k \\ y-1=2\end{cases} que não tem solução.



Para (III):

Um dos fatores é -2^k e outro é -6.

Se k=0, como y+1>y-1\Longrightarrow \begin{cases}y+1=-1\\ y-1=-6\end{cases}. Impossível.

Se k=1, \begin{cases}y+1=-2\\ y-1=6\end{cases}. Impossível.

Se k=2, \begin{cases}y+1=-4\\ y-1=-6\end{cases}\Longrightarrow \ y=-5 \ e \ x=3.

Se k\ge 3, \begin{cases}-2^k<-6\\ y+1>y-1\end{cases}\Longrightarrow \ \begin{cases}y+1=-6\\ y-1=-2^k\end{cases}\Longrightarrow \ y=-7 \ e \ x=4.



Para (IV):

Um dos fatores é -3\cdot 2^k e o outro é -2. Daí temos que

\begin{cases}-3\cdot 2^k < -2\\ y+1>y-1\end{cases}\Longrightarrow \ \begin{cases}y+1=-2\\ y-1=-3\cdot 2^k\end{cases}\Longrightarrow \ \begin{cases}y=-3\\ y=-3\cdot 2^k+1\end{cases} impossível.


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Para y par, (y+1)(y-1) é ímpar, de modo que 3\cdot 2^x também é ímpar, logo, x=0. Daí decorre que y^2-1=3\Longleftrightarrow  \ y=\pm2.

De acordo com as contas os pares seriam: (x,y):\{(3,5),(4,7),(3,-5)(4,-7),(0,2),(0,-2)\}.
Resposta

Então fica a dica Theblackmamba, como já viu, o MDC é uma ferramenta muito poderosa em problemas sobre inteiros. O MMC também pode ajudar, junto com os critérios de divisibilidade.
Até.

Última edição: Cássio (Sáb 31 Mar, 2012 00:45). Total de 1 vez.


"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
Charles Churchman

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