Ensino Médio

Isabella

Oi amiguinhos

Um polinômio do 4º grau, com termo independente igual a zero, tem raízes –3 e i. Considerando o coeficiente do termo dominante igual a 1 e os outros coeficientes números reais, assinale as alternativas corretas.

a) O coeficiente do termo em [tex3]x^{2}[/tex3] vale 1.
b) O coeficiente do termo em x vale 2.
c) O produto de suas raízes é 0.
d) A soma de todas as suas raízes é 0.

Bjos : )

Apenas, uma pergunta Isabella, há mais de uma alternativa? Em sua mensagem está escrito para assinalar as opções corretas.
Caso não, a resposta é C:

$1x^4+ax^3+bx^2+cx=0$
$x(x^3+ax^2+ bx+d)=0$
temos, então que $x=0$ , ou $x^3+ax^2+ bx+d=0$

Como uma das raízes é zero, o produto delas é zero.

Olá a todos,

Do enunciado tiramos

Um polinômio do 4º grau, com termo independente igual a zero, tem raízes –3 e i.

Dado um polinômio qualquer:
$p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

Como o termo independente é igual a zero $(e=0)$

Desta forma temos,
$p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx$

Veja que:
$p(0)=0$ , portanto uma das raízes é zero.

Como $i$ é raiz do polinômio o seu conjugado também será $(-i)$ , pois as raiz complexas vem aos pares.

Desta forma as raízes do polinômio são $-3,0,i,-i$ e como o coeficiente predominante $(x^4)$ vale $1$ , podemos escrever o seguinte polinômio:
$p(x)=1(x-0)(x-(-3))(x-i)(x-(-i))$
$p(x)=x(x+3)(x-i)(x+i)$

Agora basta fazer o multiplicação:
$p(x)=(x^2+3x)(x^2+1)$
$\boxed{p(x)=x^4+3x^3+x^2+3x}$

Agora é só analisar as alternativas.
a)Correto, basta olhar para o polinômio.
b)Falso, o coeficiente de $x$ vale $3$ .
c)Correto, como uma das raízes vale zero o produto das raízes também será zero.
d)Falso, a soma vale $0+(-3)+i+(-i)=-3$ .

Portanto as respostas corretas são: Letra A e Letra C.

Abraço.

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