Ensino Superior ⇒ Limites trigonometricos

[FNolasco]

Sem ser por L'Hospital ou qualquer outra regra de derivação

[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6x-sen2x}{2x+3sen4x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6x-sen2x}{2x+3sen4x}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá FNolasco,

Sempre que tiver seno na jogada pense no limite fundamental:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\lim_{x\to 0}\frac{sin x}{x}=1[/tex3]

Sabendo disso:

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[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6x-sen2x}{2x+3sen4x}=\lim_{x\to 0} \frac{6x-\frac{2}{2}sen2x}{2x+\frac{4}{4}3sen4x}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6-\frac{2sen 2x}{2x}}{2+\frac{12sen4x}{4x}}[/tex3]

Com isso encontramos o limite fundamental:

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[tex3]\lim_{x\to 0}\frac{sin 2x}{2x}=1[/tex3]

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[tex3]\lim_{x\to 0}\frac{sin 4x}{4x}=1[/tex3]

Logo,

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[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6-\frac{2sen 2x}{2x}}{2+\frac{12sen4x}{4x}}=\frac{6-2\cdot1}{2+12\cdot1}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}[/tex3]

Portanto,

Código: Selecionar tudo

[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6x-sen2x}{2x+3sen4x}=\frac{2}{7}[/tex3]

Abraço.