Ensino MédioPolinômios III

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Cássio
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Polinômios III

Mensagem não lida por Cássio »

Encontre um polinômio P de grau 3, tal que

a)
P(x+1)-P(x)=x^2
b) Encontre uma fórmula para \displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2.

Última edição: Cássio (Ter 27 Mar, 2012 14:32). Total de 1 vez.


"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
Charles Churchman

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VALDECIRTOZZI
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Re: Polinômios III

Mensagem não lida por VALDECIRTOZZI »

Creio que consegui o item A.

Sendo P(x) eum polinômio do terceiro grau, temos:
[tex3]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex3]

[tex3]P(x+1)-P(x)=x^2[/tex3]
a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d-ax^3-bx^2-cx-d=x^2
ax^3+3ax^2+3ax+a+bx^2+2bx+b+cx+c+d-ax^3-bx^2-cx-d=x^2
3ax^2+3ax+2bx+a+b+c=x^2

3a=1\Leftrightarrow a=\frac{1}{3}

x(3a+2b)=0x \Leftrightarrow b=\frac{1}{2}
a+b+c=0 \Leftrightarrow c=-\frac{5}{6}

\boxed{P(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{6}x}

Última edição: VALDECIRTOZZI (Qua 28 Mar, 2012 13:15). Total de 2 vezes.


So many problems, so little time!

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poti
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Re: Polinômios III

Mensagem não lida por poti »

Letra b)

Fazendo o processo e depois somando as equações:

[tex3]\cancel{1^3} = (1 + 0)^3 = 1^3 + 3.1^2.0 + 3.1.0^2 + 0^3[/tex3]
[tex3]\cancel{2^3} = (1 + 1)^3 = 1^3 + 3.1^2.1 + 3.1.1^2 + \cancel{1^3}[/tex3]
[tex3]\cancel{3^3} = (1 + 2)^3 = 1^3 + 3.1^2.2 + 3.1.2^2 + \cancel{2^3}[/tex3]
[tex3].[/tex3]
[tex3]\ .[/tex3]
[tex3]\cancel{x^3} = \ \ .[/tex3]
[tex3](x+1)^3 = (1 + x)^3 = 1^3 +3.1^2.x + 3.1.x^2 + \cancel{x^3}[/tex3]

Na equação resultante, temos:

(x+1)^3 = (\sum_{k=0}^{x} 1) + (3\sum_{k=1}^{x} k) + (3\sum_{k=1}^{x} k^2)

(x+1)^3 = (x+1) + 3\frac{(x+1)x}{2} + (3\sum_{k=1}^{x} k^2)

(3\sum_{k=1}^{x} k^2) = (x+1)^3 - (x+1) - 3\frac{(x+1)x}{2}

(6\sum_{k=1}^{x} k^2) = 2(x+1)^3 - 2(x+1) - 3(x+1)x

\sum_{k=1}^{x} k^2 = \frac{2(x+1)^3 - 2(x+1) - 3(x+1)x}{6}

\sum_{k=1}^{x} k^2 = \frac{(x+1)[2(x+1)^2 - 2 - 3x]}{6}

\boxed{\sum_{k=1}^{x} k^2 = \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}}

Última edição: poti (Qua 28 Mar, 2012 13:51). Total de 1 vez.


VAIRREBENTA!

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