IME/ITA

21 Mar 2012, 20:30

Um pêndulo é abandonado do repouso da posição horizontal [tex3]\text{A}[/tex3] num local em que a gravidade vale [tex3]\text{g}[/tex3] como mostra a figura abaixo. A aceleração resultante da bolinha do pêndulo, em função do ângulo [tex3]\text{\alpha}[/tex3] , é dada por:

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[tex3]\text{a)\,g\cdot \sqrt{3sin^2\alpha + 1}}[/tex3]
[tex3]\text{b)\,g\cdot \sqrt{3cos^2\alpha + 1}}[/tex3]
[tex3]\text{c)\,2g\cdot \sqrt{sin^2\alpha + 1}}[/tex3]
[tex3]\text{d)\,2g\cdot \sqrt{cos^2\alpha + 1}}[/tex3]
[tex3]\text{e)\,g}[/tex3]

Resposta

A

23 Mar 2012, 18:28

Após descer uma altura $H = L \cdot sin\alpha$ , o pêndulo atinge uma velocidade $v = \sqrt{2 g H} = \sqrt{2gLsin\alpha}$ (obtido facilmente por conservação de energia mecânica). Ao passar pelo ponto B, na direção radial (centrípeta), pela 2ª lei de Newton, temos:

$F_{Rctp}=T- Psin\alpha=M \cdot a_{ctp}$

Entretanto, para determinar a aceleração centrípeta no ponto B, nem precisamos determinar a tração T no fio ao passar pelo ponto B, visto que a velocidade $v_b$ já foi determinada anteriormente por conservação de energia. Conhecendo $v_b$ , determinamos a aceleração centrípeta no ponto B diretamente:

$a_{ctp}=\frac{V^2}{R}=\frac{2gLsin\alpha}{L}=2gsin\alpha$

Sua aceleração tangencial é causada pela componente tangencial da força peso: $F_{Rtg} = M \cdot a_{tg}\Rightarrow$ $Mgcos\alpha = M \cdot a_{tg} \Rightarrow a_{tg} = gcos\alpha$ . Assim, podemos prontamente determinar a aceleração resultante $(a_R)^2 = (a_{tg})^2 + (a_{ctp})^2.$ substituindo os valores, obtemos: $\boxed{a_R = \sqrt{g \cdot 3sin^2 \alpha + 1}}$

Créditos: Renato Brito

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