Olimpíadas

Seja $A=777...7$ um número que o dígito 7 aparece aparece 1001 vezes. Determine o resto da divisão de A por 1001.

Resposta

Fiz assim: $A=\underbrace{777...7}_{1001} = 7 \cdot \underbrace{111...1}_{1001} = \frac{7}{9} \cdot (10^{1001}-1)$ . Mas não achei maneiras para resolver a divisão. Gabarito: 700

Mensagem não lidapor **Cássio** » Ter 20 Mar, 2012 20:01

Veja que

$10^3\equiv (-1)\pmod{1001} \Longrightarrow \ \\ \\ (10^3)^{333}\equiv (-1)^{333}\pmod{1001}$

$10^{999}\equiv -1\pmod{1001}\Longrightarrow \\ \\ \ 10^{1001}=10^{999}\cdot 10^2\equiv (-1)\cdot 100\equiv-100\equiv 1001-100\equiv 901\pmod{1001}\Longrightarrow \\ \\ 10^{1001}-1\equiv900\pmod{1001}.$

Logo,

Como $MDC(1001,9)=1$ podemos "dividir" a congruência por $9:$

$\dfrac{(10^{1001}-1)}{9}\equiv\dfrac{900}{9}\equiv 100\pmod{1001}$

De modo que

$A=\underbrace{777...7}_{1001}=7\cdot\dfrac{(10^{1001}-1)}{9}\equiv7\cdot 100\equiv 700\pmod{1001} \ \ \ \ \ \ CQD.$

Pela definição de congruência, 700 é o resto da divisão de $A$ por $1001.$

Até!

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