IME / ITA ⇒ (AFA) Função Tópico resolvido

[thebestgui]

Seja [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

uma função real que satisfaz as seguintes propriedades:

[tex3]f(0)=1;[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(0)=1;[/tex3]

[tex3]0<f(1)<1; e[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0<f(1)<1; e[/tex3]

[tex3]f(x+y)=f(x)f(y)\,\,\forall x, y \in \mathbb{R}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x+y)=f(x)f(y)\,\,\forall x, y \in \mathbb{R}.[/tex3]

Então, a expressão [tex3]f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(9)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(9)[/tex3]

é:

[tex3]a) \frac{[f(1)]^{9} - 1}{f(1)-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a) \frac{[f(1)]^{9} - 1}{f(1)-1}[/tex3]

[tex3]b) \frac{[f(1)]^{10} - 1}{f(1)-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b) \frac{[f(1)]^{10} - 1}{f(1)-1}[/tex3]

[tex3]c) \frac{[f(1)]^{9} - f(1)}{f(1)-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c) \frac{[f(1)]^{9} - f(1)}{f(1)-1}[/tex3]

[tex3]d) \frac{[f(1)]^{10} - f(1)}{f(1)-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d) \frac{[f(1)]^{10} - f(1)}{f(1)-1}[/tex3]

[VALDECIRTOZZI]

Temos que:

[tex3]f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)=1.f(1)=f(1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)=1.f(1)=f(1)[/tex3]

[tex3]f(2)=f(1+1)=f(1).f(1)=[f(1)]^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(2)=f(1+1)=f(1).f(1)=[f(1)]^2[/tex3]

[tex3]f(3)=f(1+2)=f(1).f(2)=f(1).[f(1)]^2=[f(1)]^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(3)=f(1+2)=f(1).f(2)=f(1).[f(1)]^2=[f(1)]^3[/tex3]

[tex3]f(4)=f(1+3)=f(1).f(3)=f(1).[f(1)]^3=[f(1)]^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(4)=f(1+3)=f(1).f(3)=f(1).[f(1)]^3=[f(1)]^4[/tex3]

e assim sucessivamente.

Daí temos que:

[tex3]S_n=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(9)=1+f(1)+[f(1)]^2+[f(1)]^3+[f(1)]^4+...+[f(1)]^9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_n=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(9)=1+f(1)+[f(1)]^2+[f(1)]^3+[f(1)]^4+...+[f(1)]^9[/tex3]

Do segundo ao último termo temos uma soma de termos de uma PG finita, cuja razão é [tex3]f(1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(1)[/tex3]

, há 9 termos e o primeiro é termo é [tex3]f(1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(1)[/tex3]

.

[tex3]S_n=1+\frac{f(1)(1-[f(1)]^9)}{1-f(1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_n=1+\frac{f(1)(1-[f(1)]^9)}{1-f(1)}[/tex3]

[tex3]S_n=\frac{1-f(1)+f(1)-[f(1)]^{10}}{1-f(1)}=\frac{1-[f(1)]^{10}}{1-f(1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_n=\frac{1-f(1)+f(1)-[f(1)]^{10}}{1-f(1)}=\frac{1-[f(1)]^{10}}{1-f(1)}[/tex3]

[tex3]S_n=\frac{-1.(-1+[f(1)]^{10}}{-1.(-1+f(1))}=\frac{[f(1)]^{10}-1}{f(1)-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_n=\frac{-1.(-1+[f(1)]^{10}}{-1.(-1+f(1))}=\frac{[f(1)]^{10}-1}{f(1)-1}[/tex3]

O que fornece a resposta B.

[futuromilitar]

[tex3]\frac{[f(1)]^{10}-1}{f(1)-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{[f(1)]^{10}-1}{f(1)-1}[/tex3]

como fez isso??

[MrUnknowslogs]

só uma dúvida... se o [tex3]f(1) = q[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(1) = q[/tex3]

e nas propriedades que a questão nos fornece diz que [tex3]0<f(1)<1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0<f(1)<1[/tex3]

... então por que essa PG é finita? Sendo que uma PG infinita tem como [tex3]0< /q /< 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0< /q /< 1[/tex3]

?

[caju]

Olá MrUnknowslogs,

Uma PG infinita é aquela que tem infinitos termos, independente de ter razão positiva, negativa, menor que 1 ou maior que 1.

Se uma PG tem 9 termos (caso desta questão), estamos tratando de uma PG finita, pois 9 é uma quantidade finita.

Acredito que você tenha se confundido com a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita. Essa fórmula só pode ser aplicada quando a nossa PG tem duas condições:

1) ser uma PG infinita (uma PG finita não pode-se aplicar tal fórmula);
2) ter razão [tex3]1<|q|<1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1<|q|<1[/tex3]

Como a PG desta questão só tem a condição 2 listada acima, não podemos aplicar a fórmula da PG infinita... era isso sua dúvida?

Grande abraço,
Prof. Caju

[MrUnknowslogs]

Olá MrUnknowslogs,

Uma PG infinita é aquela que tem infinitos termos, independente de ter razão positiva, negativa, menor que 1 ou maior que 1.

Se uma PG tem 9 termos (caso desta questão), estamos tratando de uma PG finita, pois 9 é uma quantidade finita.

Acredito que você tenha se confundido com a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita. Essa fórmula só pode ser aplicada quando a nossa PG tem duas condições:

1) ser uma PG infinita (uma PG finita não pode-se aplicar tal fórmula);
2) ter razão [tex3]1<|q|<1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1<|q|<1[/tex3]

Como a PG desta questão só tem a condição 2 listada acima, não podemos aplicar a fórmula da PG infinita... era isso sua dúvida?

Grande abraço,
Prof. Caju

Perfeito, professor, era isso mesmo. Sua explicação foi bem esclarecedora. Obrigado