IME / ITA(ITA - 1980) Função Quadrática Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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gabrielifce
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(ITA - 1980) Função Quadrática

Mensagem não lida por gabrielifce »

No sistema coordernadas cartesianas ortogonais, a curva ax^2 +bx +c passa pelo os pontos (1,\ 1) , (2,\ m)\ e\ (m,\ 2), onde [tex3]m[/tex3] é um número real diferente de [tex3]2[/tex3] e sobre esta curva podemos afirmar que:

A) Ela admite um mínimo para todo [tex3]m[/tex3] tal que \frac{1}{2}< m <\frac{3}{2}
B) Ela admite um mínimo para todo [tex3]m[/tex3] tal que 0<m<1
C) Ela admite um máximo para todo [tex3]m[/tex3] tal que -\frac{1}{2}<m<\frac{1}{2}
D) Ela admite um máximo para todo [tex3]m[/tex3] tal que \frac{1}{2}< m <\frac{3}{2}
E) Ela admite um máximo para todo [tex3]m[/tex3] tal que 0<m<1
Resposta

Resp item B

Última edição: gabrielifce (Qui 15 Mar, 2012 16:16). Total de 3 vezes.


Incrível.

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VALDECIRTOZZI
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Mar 2012 19 13:15

Re: (ITA - 1980) Função Quadrática

Mensagem não lida por VALDECIRTOZZI »

Substituindo os pontos na função temos;

[tex3]a+b+c=1[/tex3] (I)
[tex3]4a+2b+c=m[/tex3] (II)
[tex3]m^2a+mb+c=2[/tex3] (III)

Daí temos:

[tex3]\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 4 & 2 & 1 \\ m^2 & m & 1\end{array}\right]\neq 0[/tex3] para que o sistema tenha uma [unica solução.

Resolvendo o determinamte, temos: [tex3]m^2-3m-2\neq 0[/tex3]
[tex3](m-2)(m-3)\neq 0[/tex3] , o que dá [tex3]m\neq 2 e m\neq 1[/tex3]

Fazendo [tex3]-(I)+(II)[/tex3] temos: [tex3]3a+b=m-1{\leftrightarrow}b=m-1-3a[/tex3]
Fazendo [tex3]-2(I)+(II)[/tex3] temos: [tex3]2a-c=m-2 {\leftrightarrow}c=2a-m+2[/tex3]

Susbtituindo essas duas últimas equações na equação [tex3]III[/tex3]

[tex3]m^2a+m(m-1-3a)+2a-m+2=2[/tex3]

A simplificação da expresão acima nos fornece: [tex3]a=\frac{m}{1-m}[/tex3]

Como é uma função quadrática, [tex3]a[/tex3] não pode ser [tex3]0[/tex3] para [tex3]a>0[/tex3] a função apresenta ponto de mínimo e para [tex3]a<0[/tex3] a função apresenta ponto de máximo, daí

[tex3]a<0 {\leftrightarrow}\frac{m}{1-m}<0[/tex3] o que fornece [tex3]m<0[/tex3] ou [tex3]m>1[/tex3]
ou

[tex3]a>0 {\leftrightarrow}\frac{m}{m-1}>0[/tex3] o que fornece [tex3]0<m<1[/tex3]

A única altrenativa que contempla as conclusões chegadas é a B.

Última edição: VALDECIRTOZZI (Seg 19 Mar, 2012 13:15). Total de 1 vez.


So many problems, so little time!

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