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Mensagem não lida por **Marcos** » 13 Mar 2012, 14:32

Na figura abaixo tem-se [tex3]AD=1\text{ cm}[/tex3] e [tex3]AC=10\text{ cm}[/tex3] . Calcular a medida do segmento [tex3]BD[/tex3] .

: Triângulo.gif (2.57 KiB) Exibido 1958 vezes

[tex3]a)[/tex3] [tex3](8+5\sqrt{3}) cm[/tex3]
[tex3]b)[/tex3] [tex3](8-5\sqrt{3}) cm[/tex3]
[tex3]c)[/tex3] [tex3]8 cm[/tex3]
[tex3]d)[/tex3] [tex3]5\sqrt{3} cm[/tex3]
[tex3]e)[/tex3] [tex3](8+3\sqrt{5}) cm[/tex3]

13 Mar 2012, 20:56

Seja $\hat{B}=\alpha$ . Logo, $\hat{C}=180-90-30-\alpha = 60-\alpha$

: Triângulo.gif (2.78 KiB) Exibido 1934 vezes

Pelas relações trigonométricas no triângulo retângulo:

$tg(60-\alpha) = \frac{BD}{11}$
$BD=11 \cdot tg(60-\alpha)$

$tg\alpha = \frac{1}{BD}$
$BD = \frac{1}{tg\alpha}$

$\frac{1}{tg\alpha} = 11 \cdot \frac{tg60-tg\alpha}{1 + tg60 \cdot tg\alpha}$

$tg\alpha = k$

$\frac{1}{k} = 11 \cdot \frac{\sqrt{3} - k}{1 + k\sqrt{3}}$
$1 + k\sqrt{3} = 11k \sqrt{3} - 11k^2$
$11k^2 - 10k\sqrt{3} + 1 = 0$

Resolvendo...

$k = \frac{5 \sqrt{3}\pm8}{11}$ .

Para $tg\alpha = \frac{8 + \sqrt{3}}{11}$
$BD = \frac{1}{ \frac{8+5 \sqrt{3}}{11}}$
$BD = \frac{11}{8 + 5 \sqrt{3}}$
$BD = \frac{11(8 - 5 \sqrt{3})}{64-75}$
$\boxed{BD = (5 \sqrt{3}-8) \,\text{cm}}$ . Não consta no gabarito.

Para $tg\alpha=\frac{5\sqrt{3}+8}{11}$
$BD = \frac{11}{5\sqrt{3}-8}$
$BD = \frac{11(8 + \sqrt{3})}{75-64}$ ]
$\boxed{BD=(8 + 5 \sqrt{3})\,\text{cm}}$ . Letra A

Só não consegui entender porque o outro valor não poderia ser considerado.

Grande abraço.

Mensagem não lida por **ALDRIN** » 13 Mar 2012, 21:36

Não pode ser considerado, pois ângulo [tex3]B < C[/tex3] , logo a medida do lado [tex3]BD > DC[/tex3] e com o outro valor não seria possível, pois ficaria [tex3]BD < DC[/tex3] .

Basta atribuir valores ao ângulo [tex3]\alpha[/tex3] que você verá que [tex3]B < C[/tex3] e pela teoria o maior ângulo se opõe ao maior lado.

07 Nov 2018, 10:40

Pelas relações trigonométricas no triângulo retângulo:

[tex3]\frac{tg(60-a)}{} = \frac{BD}{11}[/tex3]

Amigo, não entendi o porquê já considerou o segmento DA=1?

Isso facilitou aos montes a questão, estou tentando ela, mas considerei DA=Y, não 1. Poderia me explicar?

Agradecido

z3us · Mensagem não lida por **z3us** » 07 Nov 2018, 10:56

Realmente, como DC= é 11? Não entendi.

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