IME / ITA ⇒ (IME) Geometria Plana Tópico resolvido

[theblackmamba]

Em um quadrado ABCD o segmento AB', com comprimento igual ao lado do quadrado, descreve um arco de círculo, conforme indicado na figura. Determine o ângulo [tex3]B\hat{A}B'[/tex3]

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[tex3]B\hat{A}B'[/tex3]

correspondente à posição em que a razão entre o comprimento do segmento B'C e o lado do quadrado vale [tex3]\sqrt{3-\sqrt{6}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3-\sqrt{6}}[/tex3]

.

quad.png (11.95 KiB) Exibido 4017 vezes

Resposta

---

15º ou 75º

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

IME - Geo Plana.png (17.89 KiB) Exibido 3996 vezes

Da figura tiramos [tex3]\angle B'AB =2\alpha[/tex3]

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[tex3]\angle B'AB =2\alpha[/tex3]

, sendo o o triângulo [tex3]B'AB[/tex3]

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[tex3]B'AB[/tex3]

isósceles, temos que:
[tex3]w=90-\alpha[/tex3]

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[tex3]w=90-\alpha[/tex3]

Portanto,
[tex3]\angle{B'BC}=\alpha[/tex3]

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[tex3]\angle{B'BC}=\alpha[/tex3]

Do triângulo [tex3]BAE[/tex3]

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[tex3]BAE[/tex3]

tiramos que [tex3]y=l\sen (\alpha )[/tex3]

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[tex3]y=l\sen (\alpha )[/tex3]

, logo:
[tex3]B'B=2l\sen (\alpha )[/tex3]

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[tex3]B'B=2l\sen (\alpha )[/tex3]

Olhando para o triânguilo [tex3]B'BC[/tex3]

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[tex3]B'BC[/tex3]

e usando a lei dos cossenos,
[tex3]x^2=4l^2\sen ^2(\alpha)+l^2 -2\cdot(2l\sen (\alpha))\cdot l\cdot \cos (\alpha)[/tex3]

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[tex3]x^2=4l^2\sen ^2(\alpha)+l^2 -2\cdot(2l\sen (\alpha))\cdot l\cdot \cos (\alpha)[/tex3]

Do enunciado tiramos,
[tex3]\frac{x}{l}=\sqrt{3-\sqrt{6}}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{l}=\sqrt{3-\sqrt{6}}[/tex3]

Substituindo,
[tex3]l^2(3-\sqrt{6})=4l^2\sen ^2(\alpha)+l^2 -2\cdot(2l\sen (\alpha))\cdot l\cdot \cos (\alpha)[/tex3]

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[tex3]l^2(3-\sqrt{6})=4l^2\sen ^2(\alpha)+l^2 -2\cdot(2l\sen (\alpha))\cdot l\cdot \cos (\alpha)[/tex3]

[tex3]3-\sqrt{6}=4\sen ^2(\alpha)+1 -4\sen (\alpha)\cdot \cos (\alpha)[/tex3]

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[tex3]3-\sqrt{6}=4\sen ^2(\alpha)+1 -4\sen (\alpha)\cdot \cos (\alpha)[/tex3]

[tex3]3-\sqrt{6}=4\sen ^2(\alpha)+1 -4\sen (\alpha)\cdot \cos (\alpha)[/tex3]

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[tex3]3-\sqrt{6}=4\sen ^2(\alpha)+1 -4\sen (\alpha)\cdot \cos (\alpha)[/tex3]

Sabemos que:
[tex3]\cos (2\alpha)=1-2\sen ^2(\alpha)[/tex3]

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[tex3]\cos (2\alpha)=1-2\sen ^2(\alpha)[/tex3]

[tex3]\sen (2\alpha)=2\sen (\alpha)\cdot \cos (\alpha)[/tex3]

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[tex3]\sen (2\alpha)=2\sen (\alpha)\cdot \cos (\alpha)[/tex3]

Assim temos,
[tex3]3-\sqrt{6}=2-2\cos (2\alpha)+1-2\sen (2\alpha)[/tex3]

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[tex3]3-\sqrt{6}=2-2\cos (2\alpha)+1-2\sen (2\alpha)[/tex3]

[tex3]2(\sen (2\alpha)+\cos (2\alpha))=\sqrt{6}[/tex3]

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[tex3]2(\sen (2\alpha)+\cos (2\alpha))=\sqrt{6}[/tex3]

Elevando ao quadrado ambos lados encontramos,
[tex3]1+\sen (4\alpha)=\frac{6}{4}[/tex3]

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[tex3]1+\sen (4\alpha)=\frac{6}{4}[/tex3]

[tex3]\sen (4\alpha)=\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\sen (4\alpha)=\frac{1}{2}[/tex3]

Logo,
[tex3]4\alpha =30^{\circ}\,\,ou\,\,4\alpha =150^{\circ}[/tex3]

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[tex3]4\alpha =30^{\circ}\,\,ou\,\,4\alpha =150^{\circ}[/tex3]

Portanto, os ângulos desejados vale:
[tex3]\boxed{2\alpha =15^{\circ}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{2\alpha =15^{\circ}}[/tex3]

[tex3]\boxed{2\alpha =75^{\circ}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{2\alpha =75^{\circ}}[/tex3]

Abraço.

[theblackmamba]

Olá Filipe !

Apenas não consegui entender porque [tex3]BE = B'E=B'C[/tex3]

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[tex3]BE = B'E=B'C[/tex3]

.

Obrigado.

Abraço.

[FilipeCaceres]

Já arrumei o desenho.

Abraço.

[theblackmamba]

Outra solução:

Sejam [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

o lado do quadrado e [tex3]\beta=B'\hat{A}C[/tex3]

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[tex3]\beta=B'\hat{A}C[/tex3]

. Usando a lei dos cossenos no triângulo [tex3]\Delta AB'C[/tex3]

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[tex3]\Delta AB'C[/tex3]

tem-se que:

[tex3]B'C' ^2 =AB'^2+AC^2-2\cdot AB' \cdot AC \cdot cos\beta[/tex3]

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[tex3]B'C' ^2 =AB'^2+AC^2-2\cdot AB' \cdot AC \cdot cos\beta[/tex3]

[tex3]l^2(3-\sqrt{6})=l^2+2l^2-2l^2 \cdot \sqrt{2} \cdot cos\beta[/tex3]

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[tex3]l^2(3-\sqrt{6})=l^2+2l^2-2l^2 \cdot \sqrt{2} \cdot cos\beta[/tex3]

[tex3]cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]\beta=\pm30^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\beta=\pm30^{\circ}[/tex3]

De forma que como [tex3]\alpha+\beta=45^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\alpha+\beta=45^{\circ}[/tex3]

, tem-se [tex3]\alpha=15^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\alpha=15^{\circ}[/tex3]

ou [tex3]\alpha=75^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\alpha=75^{\circ}[/tex3]

.

Créditos: Equipe Rumo ao ITA