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[tex3]\frac{m}{np}+ \frac{n}{mp} + \frac{p}{mn} = \frac{m^3 np + n^3 mp + p^3 mn}{(mnp)^2} = \frac{m^2 + n^2 + p^2}{mnp} = \frac{m^2 + n^2 + p^2}{2}[/tex3]
Montando um polinômio onde
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[tex3](m,n,p)[/tex3]
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[tex3]P(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C[/tex3]
Por Girard:
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[tex3]m + n + p = -A[/tex3]
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[tex3]mn + mp + np = B[/tex3]
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[tex3]mnp = -C[/tex3]
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[tex3]P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 2[/tex3]
Pelo Teorema de Newton:
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[tex3]S_2 - 6S_1 + 11S_0 - 2S_{-1} = 0[/tex3]
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[tex3](m^2 + n^2 + p^2) - 6.(m^1 + n^1 + p^1) + 11(m^0 + n^0 + p^0) - 2(m^{-1} + n^{-1} + p^{-1}) = 0[/tex3]
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[tex3]S_2 - 6.6 + 11.3 - 2(\frac{mn + mp + np}{mnp}) = 0[/tex3]
[tex3]S_2 - 3 - \cancel{2}(\frac{11}{\cancel{2}}) = 0[/tex3]
- Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]S_2 - 3 - \cancel{2}(\frac{11}{\cancel{2}}) = 0[/tex3]
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[tex3]\boxed{S_2 = 14}[/tex3]
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[tex3]\therefore \frac{m^2 + n^2 + p^2}{2} = \frac{14}{2} = \boxed{7}[/tex3]