Pré-Vestibular

No triângulo [tex3]ABC,[/tex3] [tex3]AC = 5 \, \text{cm},[/tex3] [tex3]BC = 20 \, \text{cm}[/tex3] e [tex3]\cos\alpha = \frac{3}{5}.[/tex3] O maior valor possível, em [tex3]\text{cm}^2,[/tex3] para a área do retângulo MNPQ, construído conforme mostra a figura a seguir é:

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A) [tex3]16[/tex3]
B) [tex3]18[/tex3]
C) [tex3]22[/tex3]
D) [tex3]20[/tex3]
E) [tex3]24[/tex3]

Resposta

D

Olá, theblackmamba

Considere o ponto [tex3]O[/tex3] como projeção ortogonal do ponto [tex3]A[/tex3] no lado [tex3]BC[/tex3] . Temos que:

[tex3]\sin ^{2} \alpha \, = \, 1 \, - \, (\frac{3}{5})^{2} \\ \sin \alpha \, = \, \frac{4}{5}[/tex3]

[tex3]AO \, = \, 5 \cdot \sin \alpha \, = \, 4[/tex3]

Os triângulos AMQ e ABC são semelhantes, logo, sendo l e h, os lados do retângulo em questão, temos:

[tex3]\frac{20}{l} \, = \, \frac{4}{4 \, - \, h} \\ h \, = \, 4 \, - \, \frac{1}{5} l[/tex3]

Com isso, a área A do retângulo MQNP será:

[tex3]A \, = \, l\left(4 \, - \, \frac{1}{5} l\right) \\ A \, = \, 4l \, - \, \frac{1}{5} l^{2}[/tex3]

Agora, vamos dterminar o y do vértice:

[tex3]A_{max} \, = \, \frac{- \Delta}{4a} \, = \, \frac{16}{\frac{4}{5}} \, = \, 20[/tex3]

Com isso, á área máxima será:

[tex3]A_{max} \, = \, 20 cm^{2}[/tex3]

Resposta = D

Um abraço!

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