[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \cos\,\frac{\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{2\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{3\pi}{n} \,\cdot \cdot \cdot \, \cos \,\frac{n\pi}{n}[/tex3]
Resposta
[tex3]-\frac{4}{5}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A. Tópico resolvido
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theblackmamba 
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Fev 2012
27
18:18
(IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A.
Calcular:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \cos\,\frac{\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{2\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{3\pi}{n} \,\cdot \cdot \cdot \, \cos \,\frac{n\pi}{n}[/tex3]
[tex3]-\frac{4}{5}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \cos\,\frac{\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{2\pi}{n} \cdot \cos \,\frac{3\pi}{n} \,\cdot \cdot \cdot \, \cos \,\frac{n\pi}{n}[/tex3]
[tex3]-\frac{4}{5}[/tex3]
Última edição: caju (Qua 19 Jul, 2017 02:52). Total de 2 vezes.
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Mar 2012
05
23:43
Re: (IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A.
Olá theblackmamba,
Para resolver esta questão, iremos utilizar a seguinte fórmula [tex3]\boxed{1+\text{cis}(\theta)=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)}[/tex3] , onde [tex3]\text{cis}(\theta)[/tex3] é uma representação de um complexo de módulo [tex3]1[/tex3] e argumento [tex3]\theta[/tex3] .
Vamos começar trabalhando o produto que há em cada parcela do somatório. Esqueça o somatório neste início.
[tex3]\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{n}\right) \cdot ... \cdot \cos\left(\frac{n\pi}{n}\right)[/tex3]
Agora vamos multiplicar e dividir pelos fatores que estão faltando para conseguirmos encaixar a fórmula citada no início, e representar os argumentos de uma forma a facilitar as contas:
[tex3]\frac{2\cos\left(\frac{2\pi /n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{2\pi/n}{2}\right)\cdot 2\cos\left(\frac{4\pi/n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{4\pi/n}{2}\right)\cdot 2\cos\left(\frac{6\pi/n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{6\pi/n}{2}\right)\cdot... \cdot 2\cos\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)}{2^n\text{cis}\left(\frac{2\pi/n}{2}\right)\cdot\text{cis}\left(\frac{4\pi/n}{2}\right)\cdot\text{cis}\left(\frac{6\pi/n}{2}\right)\cdot ... \cdot\text{cis}\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)}[/tex3]
Sabendo que o produto de números complexos acarreta na multiplicação de seus módulos e na soma de seus argumentos. E como no denominador temos um produto de vários complexos unitários (módulo igual a um), podemos apenas somar seus argumentos (é uma P.A. de razão [tex3]\frac{2\pi/n}{2}[/tex3] com [tex3]n[/tex3] termos).
E no numerador podemos substituir cada parzinho pela fórmula dada no início:
[tex3]\frac{\left[1+\text{cis}\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[1+ \text{cis}\left(\frac{4\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[1+ \text{cis}\left(\frac{6\pi}{n}\right)\right]\cdot. ... \cdot \left[1+\text{cis}\left(\frac{2n\pi}{n}\right)\right]}{2^n\text{cis}\left(\frac{(1+n)\pi}{2}\right)}[/tex3]
Para facilitar mais ainda a visualização:
[tex3]\frac{\left[-1-\text{cis}\left(\frac{2\cdot 1\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[-1- \text{cis}\left(\frac{2\cdot 2\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[-1- \text{cis}\left(\frac{2\cdot 3\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot. ... \cdot \left[-1-\text{cis}\left(\frac{2\cdot n\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot(-1)^n}{2^n\text{cis}\left(\frac{(1+n)\pi}{2}\right)}[/tex3]
O pulo do gato vem aqui... devemos ver que, no numerador, cada [tex3]\text{cis}[/tex3] representado ali é uma raiz n-ésima da unidade.
Ou seja, se tivermos o polinômio [tex3]p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)[/tex3] , onde [tex3]x_k[/tex3] , [tex3]k\in\mathbb{N}[/tex3] e [tex3]1\leq k\leq n[/tex3] é uma raiz n-ésima da unidade, podemos rescrever [tex3]p(x)[/tex3] como [tex3]p(x)=x^n-1[/tex3] e colocar no numerador da fração acima [tex3]p(-1)=(-1)^n-1[/tex3] .
E, pela fórmula de Moivre para radiciação de números complexos, temos que o denominador é [tex3]2^ni^{n+1}[/tex3]
[tex3]\frac{\left[(-1)^n-1\right](-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Efetuando a distributiva:
[tex3]\frac{1-(-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Agora voltamos ao somatório:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Note que, sempre que [tex3]n[/tex3] for par, a parcela será ZERO. Portanto, vamos separar os fatores ímpares (que são diferentes de ZERO) trocando a variável [tex3]n[/tex3] por [tex3]2k[/tex3] e [tex3]2k+1[/tex3] (por [tex3]2k[/tex3] nem vamos mexer, pois é ZERO).
Fazendo [tex3]n=2k+1[/tex3] , temos que quando [tex3]n=1\rightarrow k=0[/tex3] :
[tex3]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^{2k+1}}{2^{2k+1}i^{2k+2}}\,\,\rightarrow \,\,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{2^{2k}\cdot 2\cdot (i^2)^{k+1}}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\sum_{k=0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{4}\right)^k}[/tex3]
Temos um somatório infinito de termos em PG, onde o primeiro termo [tex3]a_1[/tex3] acontece quando [tex3]k=0[/tex3] .
[tex3]a_1=-1[/tex3]
[tex3]q=-\frac{1}{4}[/tex3]
Temos o somatório dos infinitos termos desta PG:
[tex3]\sum_{k=0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{4}\right)^k=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\boxed{\boxed{-\frac{4}{5}}}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
P.S.: Deixo como desafio (poste como resposta a este tópico) a demonstração da fórmula [tex3]1+\text{cis}(\theta)=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3] . Pois, em uma prova dissertativa, sua demonstração seria exigida (dica: utilize a representação no plano cartesiano dos números complexos).
Para resolver esta questão, iremos utilizar a seguinte fórmula [tex3]\boxed{1+\text{cis}(\theta)=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)}[/tex3] , onde [tex3]\text{cis}(\theta)[/tex3] é uma representação de um complexo de módulo [tex3]1[/tex3] e argumento [tex3]\theta[/tex3] .
Vamos começar trabalhando o produto que há em cada parcela do somatório. Esqueça o somatório neste início.
[tex3]\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{n}\right) \cdot ... \cdot \cos\left(\frac{n\pi}{n}\right)[/tex3]
Agora vamos multiplicar e dividir pelos fatores que estão faltando para conseguirmos encaixar a fórmula citada no início, e representar os argumentos de uma forma a facilitar as contas:
[tex3]\frac{2\cos\left(\frac{2\pi /n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{2\pi/n}{2}\right)\cdot 2\cos\left(\frac{4\pi/n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{4\pi/n}{2}\right)\cdot 2\cos\left(\frac{6\pi/n}{2}\right) \text{cis}\left(\frac{6\pi/n}{2}\right)\cdot... \cdot 2\cos\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)}{2^n\text{cis}\left(\frac{2\pi/n}{2}\right)\cdot\text{cis}\left(\frac{4\pi/n}{2}\right)\cdot\text{cis}\left(\frac{6\pi/n}{2}\right)\cdot ... \cdot\text{cis}\left(\frac{2n\pi/n}{2}\right)}[/tex3]
Sabendo que o produto de números complexos acarreta na multiplicação de seus módulos e na soma de seus argumentos. E como no denominador temos um produto de vários complexos unitários (módulo igual a um), podemos apenas somar seus argumentos (é uma P.A. de razão [tex3]\frac{2\pi/n}{2}[/tex3] com [tex3]n[/tex3] termos).
E no numerador podemos substituir cada parzinho pela fórmula dada no início:
[tex3]\frac{\left[1+\text{cis}\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[1+ \text{cis}\left(\frac{4\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[1+ \text{cis}\left(\frac{6\pi}{n}\right)\right]\cdot. ... \cdot \left[1+\text{cis}\left(\frac{2n\pi}{n}\right)\right]}{2^n\text{cis}\left(\frac{(1+n)\pi}{2}\right)}[/tex3]
Para facilitar mais ainda a visualização:
[tex3]\frac{\left[-1-\text{cis}\left(\frac{2\cdot 1\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[-1- \text{cis}\left(\frac{2\cdot 2\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot \left[-1- \text{cis}\left(\frac{2\cdot 3\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot. ... \cdot \left[-1-\text{cis}\left(\frac{2\cdot n\cdot\pi}{n}\right)\right]\cdot(-1)^n}{2^n\text{cis}\left(\frac{(1+n)\pi}{2}\right)}[/tex3]
O pulo do gato vem aqui... devemos ver que, no numerador, cada [tex3]\text{cis}[/tex3] representado ali é uma raiz n-ésima da unidade.
Ou seja, se tivermos o polinômio [tex3]p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)[/tex3] , onde [tex3]x_k[/tex3] , [tex3]k\in\mathbb{N}[/tex3] e [tex3]1\leq k\leq n[/tex3] é uma raiz n-ésima da unidade, podemos rescrever [tex3]p(x)[/tex3] como [tex3]p(x)=x^n-1[/tex3] e colocar no numerador da fração acima [tex3]p(-1)=(-1)^n-1[/tex3] .
E, pela fórmula de Moivre para radiciação de números complexos, temos que o denominador é [tex3]2^ni^{n+1}[/tex3]
[tex3]\frac{\left[(-1)^n-1\right](-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Efetuando a distributiva:
[tex3]\frac{1-(-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Agora voltamos ao somatório:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{2^ni^{n+1}}[/tex3]
Note que, sempre que [tex3]n[/tex3] for par, a parcela será ZERO. Portanto, vamos separar os fatores ímpares (que são diferentes de ZERO) trocando a variável [tex3]n[/tex3] por [tex3]2k[/tex3] e [tex3]2k+1[/tex3] (por [tex3]2k[/tex3] nem vamos mexer, pois é ZERO).
Fazendo [tex3]n=2k+1[/tex3] , temos que quando [tex3]n=1\rightarrow k=0[/tex3] :
[tex3]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^{2k+1}}{2^{2k+1}i^{2k+2}}\,\,\rightarrow \,\,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{2^{2k}\cdot 2\cdot (i^2)^{k+1}}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\sum_{k=0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{4}\right)^k}[/tex3]
Temos um somatório infinito de termos em PG, onde o primeiro termo [tex3]a_1[/tex3] acontece quando [tex3]k=0[/tex3] .
[tex3]a_1=-1[/tex3]
[tex3]q=-\frac{1}{4}[/tex3]
Temos o somatório dos infinitos termos desta PG:
[tex3]\sum_{k=0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{4}\right)^k=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\boxed{\boxed{-\frac{4}{5}}}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
P.S.: Deixo como desafio (poste como resposta a este tópico) a demonstração da fórmula [tex3]1+\text{cis}(\theta)=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\text{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3] . Pois, em uma prova dissertativa, sua demonstração seria exigida (dica: utilize a representação no plano cartesiano dos números complexos).
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Mar 2012
06
17:47
Re: (IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A.
Olá Profº Caju,
Muito obrigado pela resolução, realmente fantástica.
Vou deduzir a fórmula usando as relações trigonométricas:
[tex3]\sen \theta = 2\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\cos\theta + 1 = \cos\theta + \cos 0^{\circ} = 2 \cdot \cos \left(\frac{\theta+0}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta-0}{2}\right) = 2\cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
Vamos à nossa conta:
[tex3]\cis \theta + 1 = \cos\theta + 1 + i\sen \theta = 2\cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) + i \cdot 2\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\cis \theta + 1 = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)\right][/tex3]
[tex3]\boxed{\cis \theta + 1 = 2 \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right) }[/tex3]
Grande abraço!
Muito obrigado pela resolução, realmente fantástica.
Vou deduzir a fórmula usando as relações trigonométricas:
[tex3]\sen \theta = 2\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\cos\theta + 1 = \cos\theta + \cos 0^{\circ} = 2 \cdot \cos \left(\frac{\theta+0}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta-0}{2}\right) = 2\cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
Vamos à nossa conta:
[tex3]\cis \theta + 1 = \cos\theta + 1 + i\sen \theta = 2\cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) + i \cdot 2\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\cis \theta + 1 = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)\right][/tex3]
[tex3]\boxed{\cis \theta + 1 = 2 \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right) }[/tex3]
Grande abraço!
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Mar 2012
08
00:00
Re: (IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A.
Olá theblackmamba,
Muito boa sua dedução.
Gostaria de deixar um desafio para você (ou para quem estiver lendo), fazer esta demonstração utilizando a representação geométrica dos números complexos (no plano cartesiano, para quem não se lembra).
É muito interessante esta demonstração, por isso estou pedindo-a.
Ah, também seria interessante demonstrar (mais fácil que meu outro pedido) que ao multiplicar dois números complexos seus módulos serão multiplicados e seus argumentos somados.
Grande abraço,
Prof. Caju
Muito boa sua dedução.
Gostaria de deixar um desafio para você (ou para quem estiver lendo), fazer esta demonstração utilizando a representação geométrica dos números complexos (no plano cartesiano, para quem não se lembra).
É muito interessante esta demonstração, por isso estou pedindo-a.
Ah, também seria interessante demonstrar (mais fácil que meu outro pedido) que ao multiplicar dois números complexos seus módulos serão multiplicados e seus argumentos somados.
Grande abraço,
Prof. Caju
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Mar 2012
31
13:41
Re: (IMO) Somatório do Produto de cossenos em P.A.
Seja dois números complexos: [tex3]z_1[/tex3] e [tex3]z_2[/tex3] tais que:caju escreveu:Ah, também seria interessante demonstrar (mais fácil que meu outro pedido) que ao multiplicar dois números complexos seus módulos serão multiplicados e seus argumentos somados.
[tex3]z_1=|z_1| \cdot\cis \alpha[/tex3]
[tex3]z_2 = |z_2| \cdot \cis \theta[/tex3]
[tex3]z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot \cis \alpha \cdot \cis \theta[/tex3]
[tex3]z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (\cos\alpha + i \cdot \sen \alpha) \cdot (\cos\theta + i \cdot \sen \theta)[/tex3]
[tex3]z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot (\cos\alpha \cdot\cos\theta - \sen \alpha \cdot \sen \theta) + i \cdot (\sen \theta \cdot \cos\alpha + \sen \alpha \cdot\cos\theta )[/tex3]
[tex3]z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot [\cos(\alpha+\theta) + i\sen (\alpha + \theta)][/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \cdot \cis (\alpha+\theta)}}[/tex3]
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31
13:44
Re: (IMO) Somatório do Produto de cosenos em P.A.
Seja [tex3]z=\cis (\theta)[/tex3]
.
[tex3]z+1=w[/tex3]
Sabemos que:
[tex3]|z|=1[/tex3]
Pela figura,
[tex3]\{\alpha+\beta=\theta \\ 2\alpha+\gamma=180^{\circ} \\ 2\beta + \gamma=180^{\circ}[/tex3] [tex3]\longrightarrow \alpha=\beta=\frac{\theta}{2}[/tex3]
Logo,
[tex3]\cis (\theta) +1 = k \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]|\cis (\theta) +1| = \left|k \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)\right|[/tex3]
[tex3]|k|=\frac{|\cis (\theta)+1|}{|\cis \left(\frac{\theta}{2}\right)|}[/tex3]
[tex3]|k|=\frac{|\cis (\theta)+1|}{1}[/tex3]
[tex3]|k|=1^2+1^2+2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\theta=2+2\cos\theta[/tex3]
[tex3]|k|=2(1+\cos\theta) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\cis (\theta)+1=2\cos\left(\frac{\theta}{2} \right) \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)}[/tex3]
Se encontrarem falhas me avisem.
Grande abraço.
[tex3]z+1=w[/tex3]
Sabemos que:
[tex3]|z|=1[/tex3]
- pcomp.png (12.87 KiB) Exibido 2881 vezes
[tex3]\{\alpha+\beta=\theta \\ 2\alpha+\gamma=180^{\circ} \\ 2\beta + \gamma=180^{\circ}[/tex3] [tex3]\longrightarrow \alpha=\beta=\frac{\theta}{2}[/tex3]
Logo,
[tex3]\cis (\theta) +1 = k \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]|\cis (\theta) +1| = \left|k \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)\right|[/tex3]
[tex3]|k|=\frac{|\cis (\theta)+1|}{|\cis \left(\frac{\theta}{2}\right)|}[/tex3]
[tex3]|k|=\frac{|\cis (\theta)+1|}{1}[/tex3]
[tex3]|k|=1^2+1^2+2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos\theta=2+2\cos\theta[/tex3]
[tex3]|k|=2(1+\cos\theta) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\cis (\theta)+1=2\cos\left(\frac{\theta}{2} \right) \cdot \cis \left(\frac{\theta}{2}\right)}[/tex3]
Se encontrarem falhas me avisem.
Grande abraço.
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