DemonstraçõesDemonstração - Distância entre circuncentro e incentro Tópico resolvido

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Demonstração - Distância entre circuncentro e incentro

Mensagem não lida por theblackmamba »

Demonstrar que em todo triângulo, a relação entre os raios R e r das circunferências circunscrita e inscrita e a distância \ell entre os centros destas circunferências é:
\ell^2 = R^2 - 2Rr.

Última edição: theblackmamba (Dom 19 Fev, 2012 19:34). Total de 4 vezes.


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VALDECIRTOZZI
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Re: Demonstração - Distância entre circuncentro e incentr

Mensagem não lida por VALDECIRTOZZI »

Consideremos a figura:
circuncentro incentro.jpg
circuncentro incentro.jpg (47.49 KiB) Exibido 3369 vezes
Seja O o ciruncentro e I o incentro.
\overline{AI} é a bissetriz do \angle BAC
\overline{BI} é a bissetriz do \angle ABC
\overline{PQ} é a mediatriz do lado \overline{BC}
R é o raio da circunferência circunscrita
r é o raio da circunferência inscrita

m \overline{IO} é o que procuramos.

O \Delta PBQ é retângulo, então podemos escrever: \left(\overline{PB}\right)^2=\overline{PD} \cdot \overline{PQ} (I)

Pela análise da figura, verifica-se que o \Delta BPI é isósceles, sendo \overline{PB}=\overline{PI}. (II)

Por outro lado, \Delta IRO é retângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras:
\left(\overline{IO}\right)^2=\left(\overline{RI}\right)^2+\left(\overline{RO}\right)^2 (III)

Da mesma forma, \Delta PRI é retângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras:
\left(\overline{PI}\right)^2=\left(\overline{RI}\right)^2+\left(\overline{PR}\right)^2 (IV)

Fazendo III-IV:
\left(\overline{IO}\right)^2-\left(\overline{PI}\right)^2=\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2
\left(\overline{IO}\right)^2=\left(\overline{PI}\right)^2+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2

Substituindo II:
\left(\overline{IO}\right)^2=\left(\overline{PB}\right)^2+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2

Substituindo I:
\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot \overline {PQ}+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2

Fazendo as substituições tendo base a figura acima:
\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PO}+\overline{RO}\right)^2

\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(R+\overline{RO}\right)^2

\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R+\cancel{\left(\overline{RO}\right)^2}-R^2-2R\overline{RO}-\cancel{\left(\overline{RO}\right)^2}

\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R-R^2-2R\overline{RO}

\left(\overline{IO}\right)^2=(R-\overline{OD}) \cdot 2R-R^2-2R(r-\overline{OD})

\left(\overline{IO}\right)^2=2R^2\cancel{-2R\overline{OD}}-R^2-2Rr\cancel{+2R\overline{OD}}

\left(\overline{IO}\right)=R^2-2Rr

Espero ter ajudado!

Última edição: VALDECIRTOZZI (Qui 11 Abr, 2013 13:58). Total de 1 vez.


So many problems, so little time!

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theblackmamba
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Re: Demonstração - Distância entre circuncentro e incentr

Mensagem não lida por theblackmamba »

Muito obrigado ValdecirTozzi,
Foi bem explicativa!
Vou movê-la para o espaço de demonstrações.

Abraço.



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