DemonstraçõesDemonstração - Teorema de Newton Tópico resolvido

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FilipeCaceres
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Fev 2012 16 22:30

Demonstração - Teorema de Newton

Mensagem não lida por FilipeCaceres »

Seja [tex3]\alpha,\beta ,\gamma,...,\omega[/tex3] raízes de um polinômio. Definimos a Soma de Newton da seguinte forma:
[tex3]S_k=\alpha^k+\beta^k+\gamma^k+...[/tex3]

Dado um polinômio: [tex3]P(x)=ax^n+bx^{n-1}+...+l\cdot x+m[/tex3] é válido que:
[tex3]a\cdot S_k+b\cdot S_{k-1}+...+l\cdot S_{k-n+1}+m\cdot S_{k-n}=0,\hspace{10pt}k\in \mathbb{Z}[/tex3]

Demonstração

Sendo [tex3]\alpha,\beta ,\gamma,...,\omega[/tex3] as raízes do polinômio, temos que:
[tex3]P(\alpha)=P(\beta)=...=P(\omega)=0[/tex3]

Logo,
[tex3]\begin{cases}a\cdot \alpha^n+b\cdot \alpha^{n-1}+...+l\cdot \alpha+m=0\\a\cdot \beta^n+b\cdot \beta^{n-1}+...+l\cdot \beta+m=0\\ \hspace{100pt}\vdots \\a\cdot \omega^n+b\cdot \omega^{n-1}+...+l\cdot \omega+m=0\end{cases}[/tex3]

Multiplicando cada equação, respectivamente por [tex3]\alpha^{k-n},\beta^{k-n},...,\omega^{k-n}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}a\cdot \alpha^{n+k-n}+b\cdot \alpha^{n-1+k-n}+...+l\cdot \alpha^{1+k-n}+m\cdot \alpha^{k-n}=0\\a\beta^{n+k-n}+b\cdot \beta^{n-1+k-n}+...+l\cdot \beta^{1+k-n}+m\cdot \beta^{k-n}=0\\ \hspace{100pt}\vdots \\a\cdot \omega^{n+k-n}+b\cdot \omega^{n-1+k-n}+...+l\cdot \omega^{1+k-n}+m\cdot \omega^{k-n}=0\end{cases}[/tex3]

Arrumando
[tex3]\begin{cases}a\cdot \alpha^k+b\cdot \alpha^{k-1}+...+l\cdot \alpha^{k-n+1}+m\cdot \alpha^{k-n}=0\\a\cdot \beta^k+b\cdot \beta^{k-1}+...+l\cdot \beta^{k-n+1}+m\cdot \beta^{k-n}=0\\ \hspace{100pt}\vdots \\a\cdot \omega^k+b\cdot \omega^{k-1}+...+l\cdot \omega^{k-n+1}+m\cdot \omega^{k-1}=0\end{cases}[/tex3]

Somando,
[tex3]a\cdot \underbrace{(\alpha^k+\beta^k+...+\omega^k)}_{S_k}+b\cdot \underbrace{(\alpha^{k-1}+\beta^{k-1}+...+\omega^{k-1})}_{S_{k-1}}+...+l\cdot \underbrace{(\alpha^{k-n+1}+\beta^{k-n+1}+...+\omega^{k-n+1})}_{S_{k-n+1}}++m\cdot \underbrace{(\alpha^{k-n}+\beta^{k-n}+...+\omega^{k-n})}_{S_{k-n}}=0[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{a\cdot S_k+b\cdot S_{k-1}+...+l\cdot S_{k-n-1}+m\cdot S_{k-n}=0,\hspace{10pt}k\in \mathbb{Z}}}[/tex3]

Última edição: caju (Qua 16 Ago, 2017 22:32). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3



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poti
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Fev 2012 16 22:35

Re: Teorema de Newton

Mensagem não lida por poti »

Genial. Valeu!



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