Ensino Médio ⇒ Números inteiros Tópico resolvido

[Natan]

Mostre que para [tex3]x\, \in\, \mathbb{Z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\, \in\, \mathbb{Z}[/tex3]

o número [tex3]\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{3}+\frac{7x}{15}\in\, \mathbb{Z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{3}+\frac{7x}{15}\in\, \mathbb{Z}[/tex3]

não tenho idéia de como fazer isso...

[theblackmamba]

Olá Natan,
Vamos reescrever nossa equação:

[tex3]\frac{3x^5 + 5x^3 + 7x}{15}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x^5 + 5x^3 + 7x}{15}[/tex3]

Para que o número seja inteiro, ele deve ser múltiplo de 15, ou seja, múltiplo de 5 e 3 simultaneamente.
Para resolver o problema vamos o usar a notação de classes de congruência.

Primeiramente vamos mostrar que a expressão do numerador é equivalente a congruência módulo 5:
[tex3]\overline{3x^5} + \overline{5x^3} + \overline{7x} = \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{3x^5} + \overline{5x^3} + \overline{7x} = \overline{0}[/tex3]

[tex3]\overline{3} (\overline{x})^5 + \overline{5}(\overline{x})^3 + \overline{7} \overline{x} = \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{3} (\overline{x})^5 + \overline{5}(\overline{x})^3 + \overline{7} \overline{x} = \overline{0}[/tex3]

[tex3]\overline{3} (\overline{x})^5 + \overline{2} \overline{x} = \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{3} (\overline{x})^5 + \overline{2} \overline{x} = \overline{0}[/tex3]

Na congruência de módulo 5 temos 5 opções para a classe de congruência: 0,1, 2, 3, 4. Mas observamos que a classe de congruência 3 equivale a classe de congruência -1 e a classe 4 equivale a classe -2.

Substituindo:
[tex3]\overline{3}(\overline{0})^5 + \overline{2}(\overline{0}) = \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{3}(\overline{0})^5 + \overline{2}(\overline{0}) = \overline{0}[/tex3]

[tex3]\overline{3}(\overline{1})^5 + \overline{2}(\overline{1}) = \overline{5} = \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{3}(\overline{1})^5 + \overline{2}(\overline{1}) = \overline{5} = \overline{0}[/tex3]

[tex3]\overline{3}(\overline{2})^5 + \overline{2}(\overline{2})=\overline{100}=\overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{3}(\overline{2})^5 + \overline{2}(\overline{2})=\overline{100}=\overline{0}[/tex3]

[tex3]\overline{3}(\overline{-1})^5 + \overline{2}(\overline{-1})= \overline{-100} = \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{3}(\overline{-1})^5 + \overline{2}(\overline{-1})= \overline{-100} = \overline{0}[/tex3]

[tex3]\overline{3}(\overline{-2})^5 + \overline{2}(\overline{-2})=\overline{-5} = \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{3}(\overline{-2})^5 + \overline{2}(\overline{-2})=\overline{-5} = \overline{0}[/tex3]

Veja que todas sentenças são verdadeiras logo o a expressão é múltipla de 5.

Fazendo a mesma coisa com a congruência módulo 3 chegaremos a seguinte expressão:
[tex3]\overline{2}(\overline{x})^3 + \overline{x} = \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{2}(\overline{x})^3 + \overline{x} = \overline{0}[/tex3]

Há três possibilidades para a congruência módulo 3: 0,1 e 2:
[tex3]\overline{2}(\overline{0})^3 + \overline{0} = \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{2}(\overline{0})^3 + \overline{0} = \overline{0}[/tex3]

[tex3]\overline{2}(\overline{1})^3 + \overline{1} = \overline{3} = \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{2}(\overline{1})^3 + \overline{1} = \overline{3} = \overline{0}[/tex3]

[tex3]\overline{2}(\overline{2})^3 + \overline{2} = \overline{18}= \overline{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{2}(\overline{2})^3 + \overline{2} = \overline{18}= \overline{0}[/tex3]

Todas as sentenças também são verdadeiras, logo o número também é múltiplo de 3.

Sendo o número múltiplos de 3 e 5 ele é múltiplo de 15. Logo para [tex3]\forall x \,\in\,\mathbb{Z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\forall x \,\in\,\mathbb{Z}[/tex3]

o número [tex3]\frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + \frac{7x}{15}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + \frac{7x}{15}[/tex3]

é sempre inteiro.

Abraço.

[Natan]

Olá,

Obrigado pela solução! poderia me conseguir algum arquivo que fale sobre a aplicação de congruencia na resolução de exercicios com números inteiros?

[theblackmamba]

Olá Natan,

Pois não,
Sempre uso estes arquivos para aplicação da aritmética modular (links abaixo):

Resposta

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Link 1
Link 2

Espero que ajude. Grande abraço.