Olimpíadas ⇒ (Baltic Way) Geometria Tópico resolvido

[theblackmamba]

As bissetrizes dos ângulos [tex3]\hat{A}[/tex3]

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[tex3]\hat{A}[/tex3]

e [tex3]\hat{B}[/tex3]

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[tex3]\hat{B}[/tex3]

do triângulo ABC intersectam os lados BC e CA nos pontos D e E respectivamente. Supondo que [tex3]AE + BD=AB[/tex3]

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[tex3]AE + BD=AB[/tex3]

, determine a medida do ângulo [tex3]\hat{C}[/tex3]

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[tex3]\hat{C}[/tex3]

.

[caju]

Olá theblackmamba,

Figura:

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Marcando o ponto G em AB tal que GB=BE e GA=AD. Isso faz com que o triângulo GEB seja isósceles.

Sendo os ângulos GBN=NBE (pois é bissetriz), BEN=BGN (isósceles) e BG=BE (por construção), temos que N é ponto médio e, consequentemente, GNB=EBN=[tex3]90^{\circ}[/tex3]

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[tex3]90^{\circ}[/tex3]

.

O mesmo raciocínio pode ser aplicado em ADG, concluindo que ALG=ALD=[tex3]90^{\circ}[/tex3]

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[tex3]90^{\circ}[/tex3]

.

Assim, como DN e EL são alturas do triângulo EGD e, ao mesmo tempo são medianas (pois N e L são pontos médios de GE e GD, respectivamente), concluímos que DEG é um triângulo equilátero (pois duas alturas coincidentes com as respectivas medianas é característica de triângulo equilátero).

Vamos, então, trabalhar com os ângulos:

Screen Shot 2012-02-10 at 18.42.53.png (40.97 KiB) Exibido 1102 vezes

Da soma dos ângulos ao redor do ponto G, temos:

[tex3]90-\beta +60+90-\theta =180\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\beta +\theta =60^{\circ}}\text{ (I)}[/tex3]

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[tex3]90-\beta +60+90-\theta =180\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\beta +\theta =60^{\circ}}\text{ (I)}[/tex3]

E da soma dos ângulos do triângulo ABC, temos:

[tex3]\alpha +2\theta +2\beta =180^{\circ}\,\,\,\longrightarrow^{(I)}\,\,\,\boxed{\alpha=60^{\circ}}[/tex3]

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[tex3]\alpha +2\theta +2\beta =180^{\circ}\,\,\,\longrightarrow^{(I)}\,\,\,\boxed{\alpha=60^{\circ}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju