Sabendo que A, M, N, E, F, B são pontos de tangencia e que DE=DF. Qual a área do triângulo DEF ?
Ensino Médio ⇒ Geometria - Área de um Triângulo Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2012
03
23:36
Geometria - Área de um Triângulo
Última edição: andreluiz (Sex 03 Fev, 2012 23:36). Total de 1 vez.
-
- Mensagens: 2135
- Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
- Última visita: 27-03-24
- Localização: Rio de Janeiro
- Contato:
Fev 2012
04
18:19
Re: Área de um Triângulo
Olá andreluiz,
De onde você tirou esta questão? Eu a vi em um site russo uma vez, mas não dava a solução.
Vou mostrar o que eu consegui fazer. Acho que fiquei uns 45 minutos pensando nesta questão, mas não consegui achar a área.
Mas tenho um início, vamos ver se alguém tenta terminar com o que eu iniciei.
Vamos começar com a figura:
Vou fazer a resolução genericamente, em vez de utilizar o raio 10, vou usar o raio [tex3]q[/tex3] , conforme indicado na figura.
Sendo [tex3]A[/tex3] ponto de tangencia comum, então [tex3]O[/tex3] , [tex3]P[/tex3] e [tex3]A[/tex3] são colineares, logo [tex3]OP=2q-R[/tex3] .
Chamando [tex3]ON=x[/tex3] e aplicando Pitágoras no triângulo [tex3]OPN[/tex3] [tex3]\rightarrow (2q-R)^2=R^2+x^2\,\,\rightarrow \,\, \boxed{x^2=4q^2-4qR}[/tex3]
Note que [tex3]O_1P=q+R[/tex3] . Aplicamos Pitágoras no triângulo [tex3]O_1PN[/tex3] [tex3]\rightarrow (Q+R)^2=R^2+(q+x)^2\,\,\rightarrow \,\,2qR=2qx+x^2[/tex3] , mas [tex3]x^2[/tex3] sabemos do Pitágoras anterior [tex3]\rightarrow 2qR=2qx+4q^2-4qR\,\,\rightarrow \,\, \boxed{x=3R-2q}[/tex3]
Sabemos que [tex3]BN=BO+ON[/tex3] , mas [tex3]BO=2q[/tex3] e [tex3]ON=x=3R-2q[/tex3] , portanto, [tex3]BN=2q+3R-2q\,\,\rightarrow \,\,BN=3R[/tex3] .
Assim, podemos calcular tangente de alfa pelo triângulo [tex3]BPN[/tex3] : [tex3]\tan(\alpha)=\frac{R}{3R}\,\,\rightarrow \,\,\tan(\alpha)=\frac 13\,\,\rightarrow \,\,\boxed{cos(\alpha)=\frac{3\sqrt{10}}{10}}[/tex3] .
Pitágoras em [tex3]BPN[/tex3] : [tex3]\rightarrow (BP)^2=R^2+(3R)^2\rightarrow \boxed{(BP)^2=10R}[/tex3]
Aplicamos lei-dos-cosenos no triângulo [tex3]O_1BP[/tex3] em relação ao ângulo [tex3]\alpha[/tex3] : [tex3](q+R)^2=q^2+(BP)^2-2q(BP)\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\boxed{R=\frac{8q}{9}}}[/tex3] .
Agora a segunda parte:
Traçamos uma perpendicular a [tex3]EO_1[/tex3] passando por [tex3]P[/tex3] . Assim, temos que [tex3]PF=ET=R[/tex3] e [tex3]TO_1=q-R[/tex3] . Note, também que [tex3]PT=FE[/tex3] .
Para facilitar, vamos chamar [tex3]PT=y[/tex3] .
Aplicando Pitágoras em [tex3]PTO_1[/tex3] : [tex3](q+R)^2=y^2+(q-R)^2\,\,\rightarrow \boxed{\Large y^2=4qR}[/tex3] .
E, então, travei... agora tem que dar um jeito de encontrar mais informações do triângulo... essa questão me cansou!
Grande abraço,
Prof. Caju
De onde você tirou esta questão? Eu a vi em um site russo uma vez, mas não dava a solução.
Vou mostrar o que eu consegui fazer. Acho que fiquei uns 45 minutos pensando nesta questão, mas não consegui achar a área.
Mas tenho um início, vamos ver se alguém tenta terminar com o que eu iniciei.
Vamos começar com a figura:
Vou fazer a resolução genericamente, em vez de utilizar o raio 10, vou usar o raio [tex3]q[/tex3] , conforme indicado na figura.
Sendo [tex3]A[/tex3] ponto de tangencia comum, então [tex3]O[/tex3] , [tex3]P[/tex3] e [tex3]A[/tex3] são colineares, logo [tex3]OP=2q-R[/tex3] .
Chamando [tex3]ON=x[/tex3] e aplicando Pitágoras no triângulo [tex3]OPN[/tex3] [tex3]\rightarrow (2q-R)^2=R^2+x^2\,\,\rightarrow \,\, \boxed{x^2=4q^2-4qR}[/tex3]
Note que [tex3]O_1P=q+R[/tex3] . Aplicamos Pitágoras no triângulo [tex3]O_1PN[/tex3] [tex3]\rightarrow (Q+R)^2=R^2+(q+x)^2\,\,\rightarrow \,\,2qR=2qx+x^2[/tex3] , mas [tex3]x^2[/tex3] sabemos do Pitágoras anterior [tex3]\rightarrow 2qR=2qx+4q^2-4qR\,\,\rightarrow \,\, \boxed{x=3R-2q}[/tex3]
Sabemos que [tex3]BN=BO+ON[/tex3] , mas [tex3]BO=2q[/tex3] e [tex3]ON=x=3R-2q[/tex3] , portanto, [tex3]BN=2q+3R-2q\,\,\rightarrow \,\,BN=3R[/tex3] .
Assim, podemos calcular tangente de alfa pelo triângulo [tex3]BPN[/tex3] : [tex3]\tan(\alpha)=\frac{R}{3R}\,\,\rightarrow \,\,\tan(\alpha)=\frac 13\,\,\rightarrow \,\,\boxed{cos(\alpha)=\frac{3\sqrt{10}}{10}}[/tex3] .
Pitágoras em [tex3]BPN[/tex3] : [tex3]\rightarrow (BP)^2=R^2+(3R)^2\rightarrow \boxed{(BP)^2=10R}[/tex3]
Aplicamos lei-dos-cosenos no triângulo [tex3]O_1BP[/tex3] em relação ao ângulo [tex3]\alpha[/tex3] : [tex3](q+R)^2=q^2+(BP)^2-2q(BP)\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\boxed{R=\frac{8q}{9}}}[/tex3] .
Agora a segunda parte:
Traçamos uma perpendicular a [tex3]EO_1[/tex3] passando por [tex3]P[/tex3] . Assim, temos que [tex3]PF=ET=R[/tex3] e [tex3]TO_1=q-R[/tex3] . Note, também que [tex3]PT=FE[/tex3] .
Para facilitar, vamos chamar [tex3]PT=y[/tex3] .
Aplicando Pitágoras em [tex3]PTO_1[/tex3] : [tex3](q+R)^2=y^2+(q-R)^2\,\,\rightarrow \boxed{\Large y^2=4qR}[/tex3] .
E, então, travei... agora tem que dar um jeito de encontrar mais informações do triângulo... essa questão me cansou!
Grande abraço,
Prof. Caju
Última edição: caju (Sáb 04 Fev, 2012 18:19). Total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
-
- Mensagens: 2135
- Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
- Última visita: 27-03-24
- Localização: Rio de Janeiro
- Contato:
Fev 2012
05
02:19
Re: Geometria - Área de um Triângulo
Se alguém se interessar na construção geométrica desta figura (fiz no geogebra), acabei de descobrir uma ferramenta fantástica do geogebra.
Dá pra publicar na web uma versão do arquivo que abre no navegador!
Dêem uma olhada no link abaixo:
http://www.tutorbrasil.com.br/geogebra/circulos.html
Pra ver a sequência de construção, é só apertar o botão play na parte de baixo.
Demora um pouco pra carregar a primeira vez, é só aguardar.
Vamos ver se vale a pena utilizar mais vezes essa ferramenta.
Grande abraço,
Prof. Caju
Dá pra publicar na web uma versão do arquivo que abre no navegador!
Dêem uma olhada no link abaixo:
http://www.tutorbrasil.com.br/geogebra/circulos.html
Pra ver a sequência de construção, é só apertar o botão play na parte de baixo.
Demora um pouco pra carregar a primeira vez, é só aguardar.
Vamos ver se vale a pena utilizar mais vezes essa ferramenta.
Grande abraço,
Prof. Caju
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
Nov 2014
19
16:29
Re: Geometria - Área de um Triângulo
Olá à todos,
Consegui resolver por geometria analítica. Levei quase 2 horas para terminar esse.
Vamos lá :
Colocando o circulo de raio 20 centrado na origem do sistema com equação de e de imediato . Utilizando as equações do Prof. Caju, e , veja a figura : A equação que tangencia ambos círculos é a equação cuja distância do centro de cada circulo a reta equivale a distância dos respectivos raios, logo :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... 1%29+solve
Assim, a equação da reta tangente é :
Podemos encontrar as coordenadas dos pontos C e D, através das equações dos círculos e da reta tangente aos mesmos.
Distância entre CD :
A distância , então
, logo
O ponto E, tem coordenadas
Usando o Teorema de Heron para o calculo da área :
E Finalmente (Ufaaaa) :
Um forte abraço à todos !
Consegui resolver por geometria analítica. Levei quase 2 horas para terminar esse.
Vamos lá :
Colocando o circulo de raio 20 centrado na origem do sistema com equação de e de imediato . Utilizando as equações do Prof. Caju, e , veja a figura : A equação que tangencia ambos círculos é a equação cuja distância do centro de cada circulo a reta equivale a distância dos respectivos raios, logo :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... 1%29+solve
Assim, a equação da reta tangente é :
Podemos encontrar as coordenadas dos pontos C e D, através das equações dos círculos e da reta tangente aos mesmos.
Distância entre CD :
A distância , então
, logo
O ponto E, tem coordenadas
Usando o Teorema de Heron para o calculo da área :
E Finalmente (Ufaaaa) :
Um forte abraço à todos !
Última edição: Vinisth (Qua 19 Nov, 2014 16:29). Total de 1 vez.
-
- Última visita: 31-12-69
Nov 2014
23
12:05
Re: Geometria - Área de um Triângulo
Valendo do mesmo sistema cartesiano da resposta acima (mesma origem e mesmos eixos) cheguei que as coordenadas dos pontos
onde é o raio da circunferência à esquerda dentro do círculo maior.
Pode-se verificar que a distância ao quadrado entre eles realmente vale:
Se não errei conta a equação da reta mediatriz aos pontos e é:
Estou com problemas para encontrar o ponto segundo meus cálculos a coordenada do mesmo vale:
não é um valor que possa ser descartado, pois vale aproximadamente :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2* ... 2%29%29%29
enquanto o :
aqui encontramos,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2%29%29%29
porém não consigo calcular a área do triângulo com esses números gigantes...
A altura deste triângulo seria:
Se
jogando
obtemos uma altura de
perto de
mas a altura do triângulo ficou uma expressão muito grande por isso acredito estar errada, a area no caso especifico do seu problema seria de
e são:onde é o raio da circunferência à esquerda dentro do círculo maior.
Pode-se verificar que a distância ao quadrado entre eles realmente vale:
Se não errei conta a equação da reta mediatriz aos pontos e é:
Estou com problemas para encontrar o ponto segundo meus cálculos a coordenada do mesmo vale:
não é um valor que possa ser descartado, pois vale aproximadamente :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2* ... 2%29%29%29
enquanto o :
aqui encontramos,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2%29%29%29
porém não consigo calcular a área do triângulo com esses números gigantes...
A altura deste triângulo seria:
Se
jogando
obtemos uma altura de
perto de
mas a altura do triângulo ficou uma expressão muito grande por isso acredito estar errada, a area no caso especifico do seu problema seria de
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 23 Nov, 2014 12:05). Total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 3493 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 1 Respostas
- 1498 Exibições
-
Última msg por petras
-
- 1 Respostas
- 3265 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 2 Respostas
- 952 Exibições
-
Última msg por mandycorrea
-
- 4 Respostas
- 1569 Exibições
-
Última msg por florestinha89