Ensino MédioGeometria - Área de um Triângulo Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
andreluiz
Avançado
Mensagens: 146
Registrado em: Ter 22 Dez, 2009 10:01
Última visita: 24-01-14
Fev 2012 03 23:36

Geometria - Área de um Triângulo

Mensagem não lida por andreluiz »

Sabendo que A, M, N, E, F, B são pontos de tangencia e que DE=DF. Qual a área do triângulo DEF ?
circulo.png
circulo.png (64.07 KiB) Exibido 1534 vezes

Última edição: andreluiz (Sex 03 Fev, 2012 23:36). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
caju
5 - Mestre
Mensagens: 2135
Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
Última visita: 27-03-24
Localização: Rio de Janeiro
Contato:
Fev 2012 04 18:19

Re: Área de um Triângulo

Mensagem não lida por caju »

Olá andreluiz,

De onde você tirou esta questão? Eu a vi em um site russo uma vez, mas não dava a solução.

Vou mostrar o que eu consegui fazer. Acho que fiquei uns 45 minutos pensando nesta questão, mas não consegui achar a área.

Mas tenho um início, vamos ver se alguém tenta terminar com o que eu iniciei.

Vamos começar com a figura:
russian.png
russian.png (26.27 KiB) Exibido 1534 vezes
Vou fazer a resolução genericamente, em vez de utilizar o raio 10, vou usar o raio [tex3]q[/tex3] , conforme indicado na figura.

Sendo [tex3]A[/tex3] ponto de tangencia comum, então [tex3]O[/tex3] , [tex3]P[/tex3] e [tex3]A[/tex3] são colineares, logo [tex3]OP=2q-R[/tex3] .

Chamando [tex3]ON=x[/tex3] e aplicando Pitágoras no triângulo [tex3]OPN[/tex3] [tex3]\rightarrow (2q-R)^2=R^2+x^2\,\,\rightarrow \,\, \boxed{x^2=4q^2-4qR}[/tex3]

Note que [tex3]O_1P=q+R[/tex3] . Aplicamos Pitágoras no triângulo [tex3]O_1PN[/tex3] [tex3]\rightarrow (Q+R)^2=R^2+(q+x)^2\,\,\rightarrow \,\,2qR=2qx+x^2[/tex3] , mas [tex3]x^2[/tex3] sabemos do Pitágoras anterior [tex3]\rightarrow 2qR=2qx+4q^2-4qR\,\,\rightarrow \,\, \boxed{x=3R-2q}[/tex3]

Sabemos que [tex3]BN=BO+ON[/tex3] , mas [tex3]BO=2q[/tex3] e [tex3]ON=x=3R-2q[/tex3] , portanto, [tex3]BN=2q+3R-2q\,\,\rightarrow \,\,BN=3R[/tex3] .

Assim, podemos calcular tangente de alfa pelo triângulo [tex3]BPN[/tex3] : [tex3]\tan(\alpha)=\frac{R}{3R}\,\,\rightarrow \,\,\tan(\alpha)=\frac 13\,\,\rightarrow \,\,\boxed{cos(\alpha)=\frac{3\sqrt{10}}{10}}[/tex3] .

Pitágoras em [tex3]BPN[/tex3] : [tex3]\rightarrow (BP)^2=R^2+(3R)^2\rightarrow \boxed{(BP)^2=10R}[/tex3]

Aplicamos lei-dos-cosenos no triângulo [tex3]O_1BP[/tex3] em relação ao ângulo [tex3]\alpha[/tex3] : [tex3](q+R)^2=q^2+(BP)^2-2q(BP)\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\boxed{R=\frac{8q}{9}}}[/tex3] .

Agora a segunda parte:
russian2.png
russian2.png (40.61 KiB) Exibido 1534 vezes
Traçamos uma perpendicular a [tex3]EO_1[/tex3] passando por [tex3]P[/tex3] . Assim, temos que [tex3]PF=ET=R[/tex3] e [tex3]TO_1=q-R[/tex3] . Note, também que [tex3]PT=FE[/tex3] .
Para facilitar, vamos chamar [tex3]PT=y[/tex3] .

Aplicando Pitágoras em [tex3]PTO_1[/tex3] : [tex3](q+R)^2=y^2+(q-R)^2\,\,\rightarrow \boxed{\Large y^2=4qR}[/tex3] .

E, então, travei... agora tem que dar um jeito de encontrar mais informações do triângulo... essa questão me cansou!

Grande abraço,
Prof. Caju

Última edição: caju (Sáb 04 Fev, 2012 18:19). Total de 1 vez.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

Avatar do usuário
caju
5 - Mestre
Mensagens: 2135
Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
Última visita: 27-03-24
Localização: Rio de Janeiro
Contato:
Fev 2012 05 02:19

Re: Geometria - Área de um Triângulo

Mensagem não lida por caju »

Se alguém se interessar na construção geométrica desta figura (fiz no geogebra), acabei de descobrir uma ferramenta fantástica do geogebra.

Dá pra publicar na web uma versão do arquivo que abre no navegador!

Dêem uma olhada no link abaixo:

http://www.tutorbrasil.com.br/geogebra/circulos.html

Pra ver a sequência de construção, é só apertar o botão play na parte de baixo.

Demora um pouco pra carregar a primeira vez, é só aguardar.

Vamos ver se vale a pena utilizar mais vezes essa ferramenta.

Grande abraço,
Prof. Caju


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

Avatar do usuário
Vinisth
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1244
Registrado em: Qui 10 Jun, 2010 23:39
Última visita: 11-07-23
Nov 2014 19 16:29

Re: Geometria - Área de um Triângulo

Mensagem não lida por Vinisth »

Olá à todos,


Consegui resolver por geometria analítica. Levei quase 2 horas para terminar esse.
Vamos lá :

Colocando o circulo de raio 20 centrado na origem do sistema com equação de x^2+y^2=400 e de imediato (x+10)^2+y^2=100. Utilizando as equações do Prof. Caju, x=3R-2q e R=\frac{8q}{9} \implies \left(x-\frac{20}{3}\right)^2+\left(y-\frac{80}{9}\right)^2=\left(\frac{80}{9}\right)^2, veja a figura :
Circuloss.png
Circuloss.png (24.53 KiB) Exibido 1365 vezes
A equação ax+y+c=0 que tangencia ambos círculos é a equação cuja distância do centro de cada circulo a reta equivale a distância dos respectivos raios, logo :
\left\{\begin{array}{rcl}|c-10a| &=& 10\sqrt{a^2+1} \\ |\frac{20}{3}a+\frac{80}{9}+c| &=& \frac{80}{9}\sqrt{a^2+1}. \end{array}\right
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... 1%29+solve

Assim, a equação da reta tangente é :
\frac{3}{56}(\sqrt{2}-10)x+y-\frac52(2+3\sqrt{3})=0
y=0.45995284487x+15.60660171779
CD.png
CD.png (18.83 KiB) Exibido 1365 vezes
Podemos encontrar as coordenadas dos pontos C e D, através das equações dos círculos e da reta tangente aos mesmos.
C(14,179;9,08) \ \ D(2,952;16,964)
Distância entre CD :
d_{cd} = \sqrt{(14,179-2,952)^2+(9,08-16,964)^2}=13,718

A distância d_{CE}=d_{DE}, então
(14,179-x)^2+(9,08-\sqrt{400-x^2})^2=(2,952-x)^2+(16,964-\sqrt{400-x^2})^2
x= 11,1028, logo (11,1028)^2+y^2=400 \implies y= 16,6351
O ponto E, tem coordenadas E(11,1028;16,6351)

d_{CE}=d_{DE}=8,157

Usando o Teorema de Heron para o calculo da área :
S= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{8,157+8,157+13,718}{2}=15,016
S=\sqrt{15,016(15,016-8,157)^2(15,016-8,157)}
E Finalmente (Ufaaaa) :
S= 69,609

Um forte abraço à todos !
Última edição: Vinisth (Qua 19 Nov, 2014 16:29). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:12031)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Nov 2014 23 12:05

Re: Geometria - Área de um Triângulo

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Valendo do mesmo sistema cartesiano da resposta acima (mesma origem e mesmos eixos) cheguei que as coordenadas dos pontos E e F são:

E = (-\frac{98q}{137-48\sqrt{2}};\frac{28q(3\sqrt{2}-2)}{137-48\sqrt{2}})
F = (\frac{434q}{3(309+128\sqrt{2})};\frac{8q(36\sqrt{2}+53)}{309 + 128\sqrt{2}})

onde q é o raio da circunferência à esquerda dentro do círculo maior.
Pode-se verificar que a distância ao quadrado entre eles realmente vale:

d^2 = 4qR = 4q\frac{8q}{9} = \frac{32q^2}{9}

Se não errei conta a equação da reta mediatriz aos pontos E e F é:

y = -\frac{56x}{3(10-\sqrt{2})} + \frac{2q(4-\sqrt{2})}{63}}

Estou com problemas para encontrar o ponto D segundo meus cálculos a coordenada x do mesmo vale:

x = -\frac{2q(3\sqrt{266(395977-156546\sqrt{2})}+728\sqrt{2}-1792)}{3(20450-2927\sqrt{2})}

não é um valor que possa ser descartado, pois vale aproximadamente -0.8044q:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2* ... 2%29%29%29

enquanto o y:

y = \frac{4q(28\sqrt{266(395977-156546\sqrt{2}}+5676-2949\sqrt{2})}{3(10-\sqrt{2})(20450-2927\sqrt{2})}

aqui encontramos, y = 1.831q
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2%29%29%29

porém não consigo calcular a área do triângulo com esses números gigantes...

A altura deste triângulo seria:

d = |\frac{y_p-mx_p-n}{\sqrt{1+m^2}}|

Se y_p=qy'_p
x_p = qx'_p
n = qn'

d = |q\frac{y'_p-mx'_p-n'}{\sqrt{1+m^2}}|
d = qd'
d' = \frac{y'_p-mx'_p-n'}{\sqrt{1+m^2}}

jogando
y'_p = \frac{4(28\sqrt{266(395977-156546\sqrt{2}}+5676-2949\sqrt{2})}{3(10-\sqrt{2})(20450-2927\sqrt{2})}
x' = -\frac{2(3\sqrt{266(395977-156546\sqrt{2})}+728\sqrt{2}-1792)}{3(20450-2927\sqrt{2})}
m = \frac{3(10-\sqrt{2})}{56}
n' = \frac{3\sqrt{2}+2}{4}

obtemos uma altura de
d = qd' = q\frac{2}{867}(-411-142\sqrt{2}+\sqrt{750823+456\sqrt{2}})

perto de 0.582q
mas a altura do triângulo ficou uma expressão muito grande por isso acredito estar errada, a area no caso especifico do seu problema seria de 54.683

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 23 Nov, 2014 12:05). Total de 1 vez.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”