Ensino MédioEquações polinomiais Tópico resolvido

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felps
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Fev 2012 02 17:28

Equações polinomiais

Mensagem não lida por felps »

Alguém poderia me ajudar?

Determine as raízes da equação [tex3]x^3+7x^2+8x-16=0[/tex3] , sabendo que duas delas são iguais.

Última edição: felps (Qui 02 Fev, 2012 17:28). Total de 1 vez.


"É melhor lançar-se à luta em busca do triunfo,mesmo expondo-se ao insucesso,do que ficar na fila dos pobres de espírito,que nem gozam muito nem sofrem muito,por viverem nessa penumbra cinzenta de não conhecer vitória e nem derrota" F. Roosevelt

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theblackmamba
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Fev 2012 02 17:42

Re: Equações polinomiais

Mensagem não lida por theblackmamba »

Vemos que 1 é raíz pois a soma dos coeficientes é igual a zero.

Dividindo o polinômio por (x - 1)
[tex3]x^3 + 7x^2 + 8x - 16 = 0[/tex3]
[tex3](x-1)(x^2+8x+16) = 0[/tex3]
[tex3](x-1)(x+4)(x+4) = 0[/tex3]

Logo, as outras raízes são iguais a -4. Se sentir dúvidas é só perguntar!
Abraço.

Última edição: theblackmamba (Qui 02 Fev, 2012 17:42). Total de 1 vez.


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PedroCunha
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Re: Equações polinomiais

Mensagem não lida por PedroCunha »

Outra maneira:

Sejam as raízes r,s,t. Do enunciado sabemos que s = t. Aplicando as relações de Girard:

r + s + t = - 7 \therefore r + 2s = -7\dots (I) \\\\
(r\cdot s) + ( r \cdot t) + (s \cdot t) = 8 \therefore rs + rs + s^2 = 8 \therefore s \cdot (2r + s) = 8 \therefore 2r + s = \frac{8}{s} \dots II \\\\

\text{-2I + II:} \\\\

-3s = 14 + \frac{8}{s} \therefore -3s^2 = 14s + 8 \therefore -3s^2 - 14s - 8 = 0 \\\\ \Leftrightarrow s = \frac{14 \pm 10}{-6} \therefore s = -4 \text{ ou } s = \frac{2}{3} \\\\

\text{Encontrando r:} \\\\

r = 1 \text{ ou } r = -\frac{25}{3}

Porém, veja o seguinte:

o produto das raízes é positivo +16 e temos 2 raízes iguais, ou seja, um produto de sinais iguais; isso sempre vai dar positivo. Logo, para que o sinal do produto das raízes seja positivo, r > 0, o que faz com que a nossa resposta seja: S\{ 1, -4, -4\}.

Att.,
Pedro
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"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

manerinhu
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Re: Equações polinomiais

Mensagem não lida por manerinhu »

PedroCunha

apenas como observação:
veja que vc chegou na equação da derivada do polinomio em s...
3s^2 + 14s + 8 = 0
Última edição: manerinhu (Sex 03 Jan, 2014 01:29). Total de 1 vez.



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PedroCunha
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Re: Equações polinomiais

Mensagem não lida por PedroCunha »

O que isso significa, Manerinhu?


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

manerinhu
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Re: Equações polinomiais

Mensagem não lida por manerinhu »

é aquele negócio da multiplicidade da raiz e sua relação com as derivadas do polinomio original



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Vinisth
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Re: Equações polinomiais

Mensagem não lida por Vinisth »

Uma solução alternativa :

Chamando a incógnita auxiliar (y-4)=x \ (I)
x^3+7x^2+8x-16=0 \ \implies \ (y-4)^3+7(y-4)^2+8(y-4)-16=0 \\ \\ \therefore \boxed{y^2(y-5)=0}

Substituindo (I) dentro da última equação em y
(x-1)(x+4)(x+4) = 0

Um fore abraço a todos !
Última edição: Vinisth (Sex 03 Jan, 2014 02:04). Total de 1 vez.



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PedroCunha
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Jan 2014 03 02:09

Re: Equações polinomiais

Mensagem não lida por PedroCunha »

Ótima sacada, Vinisth

Pensando então, se \alpha é uma raiz de multiplicidade 2 de x^3+7x^2+8x-16=0, então \alpha é uma raiz de multiplicidade 1 de 3x^2 + 14x + 8. Daqui pra frente, é o mesmo processo. No fim, chegamos no mesmo resultado.

Havia visto este método no Fundamentos da Matemática Elementar e até utilizado aqui no Fórum (Multiplicidade da Raiz e Derivada), porém não lembrava. Obrigado por me lembrar.

Forte abraço,
Pedro

Última edição: PedroCunha (Sex 03 Jan, 2014 02:09). Total de 1 vez.


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