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Mensagem não lidapor **ALDRIN** » Seg 30 Jan, 2012 18:43 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » Seg 30 Jan, 2012 18:43

Se [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] são funções reais de variável real, onde [tex3]\\f(x)=\begin{cases}\frac{g(2x)}{x}\text{, se } x\neq 0\\0\text{, se } x=0\end{cases}[/tex3] , [tex3]g(0)=g'(0)=0[/tex3] e [tex3]g''(0)=3[/tex3] , então [tex3]f'(0)[/tex3] vale

(A) [tex3]0[/tex3] .
(B) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] .
(C) [tex3]2[/tex3] .
(D) [tex3]3[/tex3] .
(E) [tex3]6[/tex3] .

Mensagem não lidapor **jvmago** » Sex 02 Fev, 2018 16:25 · Mensagem não lida por **jvmago** » Sex 02 Fev, 2018 16:25

Para [tex3]x=a[/tex3]

[tex3]f(a)\begin{cases}
\frac{g(2a)}{a}, x\neq 0 \\
0, x=0
\end{cases}[/tex3]
Iremos recorrer a definição de derivadas

[tex3]f'(0)=\lim_{a \rightarrow 0}\frac{(f(a)-f(0))}{a}[/tex3]
[tex3]f'(0)=\lim_{a \rightarrow 0}\frac{f(a)}{a}[/tex3]

Como [tex3]a\neq 0\rightarrow f(a)=\frac{g(a)}{2a}[/tex3]

[tex3]f'(0)=\lim_{a \rightarrow 0}\frac{g(a)}{2a^2}[/tex3]

Aplicando L'Hopital duas vezes teremos:

[tex3]f'(0)=\lim_{a \rightarrow 0}\frac{g''(a)}{4}=\frac{g''(0)}{4}=\frac{3}{4}[/tex3]

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