Ensino Médio

Sabendo que H é o ortocentro do triângulo ABC e que os círculos são tangentes
sempre a um dos lados e a duas alturas distintas.

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Provar que os raios a,b,c,d,e,f obedecem a relação: a.b.c = d.e.f

Mensagem não lidapor **caju** » Qui 02 Fev, 2012 19:01 · Mensagem não lida por **caju** » Qui 02 Fev, 2012 19:01

Olá andreluiz,

Iremos utilizar uma fórmula não muito famigerada, mas de fácil dedução.
É a fórmula do raio $r$ do círculo inscrito a um triângulo retângulo $ABC$ de hipotenusa $h$ e catetos $c_1$ e $c_2$ :

$\boxed{r=\frac{c_1\cdot c_2}{h+c_1+c_2}}$

Deixo como exercício a parte da dedução, mas dou uma dica: seja o centro [tex2]P[/tex2] do círculo inscrito, ache a área do triângulo [tex2]ABC[/tex2] utilizando os catetos e ache a área do triângulo [tex2]ABC[/tex2] somando as áreas dos triângulos ABP+BCP+ACP e iguale.

Bom, vamos dar nomes aos segmentos que iremos utilizar na resolução:

: Screen Shot 2012-02-02 at 18.24.09.png (28.2 KiB) Exibido 2364 vezes

Para não poluir muito o desenho, representei os raios dos círculos do desenho do enunciado como sendo a letrinha circulada dentro de cada triângulo.

Agora, com estes valores, podemos encontrar o valor de cada raio com a fórmula apresentada inicialmente:

$\boxed{a=\frac{px}{p+w+x}}\hspace{30}\boxed{b=\frac{rz}{r+y+z}}\hspace{30}\boxed{c=\frac{tv}{\alpha+t+v}}$

$\boxed{d=\frac{sz}{s+z+\alpha}}\hspace{30}\boxed{e=\frac{uv}{u+v+w}}\hspace{30}\boxed{f=\frac{qx}{x+y+q}}$

Devemos, também, enxergar algumas semelhanças de triângulo.

Note que os ângulos $\widehat{AHE}$ e $\widehat{BHD}$ são iguais, pois são OPV (Opostos Pelo Vértice). E, sendo os ângulos $\widehat{BDH}$ e $\widehat{AEH}$ , temos que os triângulos $AEH$ e $BDH$ são semelhantes pois possuem todos os ângulos internos iguais.

Com o mesmo raciocínio, temos que os triângulos $CEH$ e $BFH$ são semelhantes e idem para $CDH$ e $AFH$ .

Com estas três semelhanças, temos:

$\boxed{\frac{z}{v}=\frac{r}{u}=\frac{y}{w}}\hspace{30}\boxed{\frac{q}{t}=\frac{x}{v}=\frac{y}{\alpha}}\hspace{30}\boxed{\frac{x}{z}=\frac{p}{s}=\frac{w}{\alpha}}$

Agora que vem o pulo do gato. Vamos utilizar a propriedade de proporções que diz:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. Isso quer dizer que se temos uma proporção $\frac ab=\frac cd$ , também é válida a igualdade $\frac{a+c}{b+d}=\frac ab=\frac cd$

Então vamos aplicar esta propriedade em cada uma das semelhanças que achamos:

$\frac{z}{v}=\frac{r}{u}=\frac{y}{w}\,\,\rightarrow \,\,\frac{r+y+z}{u+v+w}=\frac{r}{u}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\frac{r}{r+y+z}=\frac{u}{u+v+w}}$

$\frac{q}{t}=\frac{x}{v}=\frac{y}{\alpha}\,\,\rightarrow \,\,\frac{x+y+q}{\alpha+t+v}=\frac{q}{t}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\frac{t}{\alpha+t+v}=\frac{q}{x+y+q}}$

$\frac{x}{z}=\frac{p}{s}=\frac{w}{\alpha}\,\,\rightarrow \,\,\frac{p+w+x}{s+z+\alpha}=\frac{p}{s}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\frac{p}{p+w+x}=\frac{s}{s+z+\alpha}}$

Note que o lado esquerdo das três equações enquadradas acima aparecem nos valores dos raios $a$ , $b$ e $c$ .

Quase acabando, vamos substituir esses três valores acima encontrados, nos resultados obtidos anteriormente para os raios $a$ , $b$ e $c$ :

$a=\frac{px}{p+w+x}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{a=\frac{sx}{s+z+\alpha}}$

$b=\frac{rz}{r+y+z}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{b=\frac{uz}{u+v+w}}$

$c=\frac{tv}{\alpha+t+v}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{c=\frac{qv}{x+y+q}}$

Para finalizar, vamos multiplicar estes valores de $a$ , $b$ e $c$ e vamos comparar com a multiplicação dos valores encontrados anteriormente para $d$ , $e$ e $f$ .

$\boxed{\boxed{\Large a\cdot b\cdot c=\frac{sx}{s+z+\alpha}\cdot\frac{uz}{u+v+w}\cdot\frac{qv}{x+y+q}}}$

$\boxed{\boxed{\Large d\cdot e\cdot f=\frac{sz}{s+z+\alpha}\cdot\frac{uv}{u+v+w}\cdot\frac{qx}{x+y+q}}}$

Note que os produtos são iguais. CQD.

Grande abraço,
Prof. Caju

Olá a todos,

Uma outra solução possível.

Veja que o triângulo $\Delta AHF \sim \Delta CHD$ , assim temos
$\frac{a}{d}=\frac{AH}{CH}$

Analogamente,
$\frac{b}{e}=\frac{BH}{AH}$
$\frac{c}{f}=\frac{CH}{BH}$

Multiplicando,
$\frac{abc}{def}=\frac{AH.BH.CH}{CH.AH.BH}=1$

Portanto,
$\boxed{abc=def}$ .CQD

Abraço.

Mensagem não lidapor **caju** » Qua 08 Fev, 2012 01:11 · Mensagem não lida por **caju** » Qua 08 Fev, 2012 01:11

Nossa... muito melhor, Filipe.

Realmente, esqueci desse detalhe. Quando os triângulos são semelhantes, os raios dos círculos inscritos a esses triângulos seguem a proporção de semelhança (idem para o círculo circunscrito).

Muito bom, parabéns!

Grande abraço,
Prof. Caju

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