Mostre que:
[tex3]\frac{1}{\cos(0^{\circ})\cdot\cos(1^{\circ})} + \frac{1}{\cos(1^{\circ})\cdot\cos(2^{\circ})} + ... + \frac{1}{\cos(87^{\circ}) \cdot\cos(88^{\circ})} + \frac{1}{\cos(88^{\circ})\cdot\cos(89^{\circ})} = \frac{\cos(1^{\circ})}{\text{sen}^2(1^{\circ})}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (EUA - 1992) - Trigonometria Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Mensagens: 3723
- Registrado em: Ter 23 Ago, 2011 15:43
- Última visita: 20-11-19
- Localização: São Paulo - SP
Jan 2012
14
15:47
(EUA - 1992) - Trigonometria
Última edição: theblackmamba (Sáb 14 Jan, 2012 15:47). Total de 2 vezes.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein
- Albert Einstein
Jan 2012
15
06:04
Re: (EUA - 1992) - Trigonometria
isso nao é integral, matéria do ensino superior?
estou muito triste, estou deprimido. odeio matemática porque tenho muita dificuldade. "Estudar com ódio até meus dedos sangrarem de tanto fazer exercício, eis o caminho para a libertação"
-
- Mensagens: 2504
- Registrado em: Seg 16 Nov, 2009 20:47
- Última visita: 24-01-20
Jan 2012
15
14:02
Re: (EUA - 1992) - Trigonometria
Olá theblackmamba,
Temos,
[tex3]S=\sum\limits_{n=0}^{88}\frac{1}{{cos(n)}{cos(n+1)}}[/tex3]
Usando fração parcial,
[tex3]\frac{1}{{cos(n)}{cos(n+1)}}=\frac{A}{cos(n)}+\frac{B}{cos(n+1)}[/tex3]
Assim temos,
[tex3]A{cos(n+1)}+B{cos(n)}=1[/tex3]
Abrindo o cosseno e juntando as partes,
[tex3](Acos(1)+B)(cos(n))+(-Asin(1))(sin(n))=1[/tex3]
Relembrando que,
[tex3]sin^{2}(n)+cos^{2}(n)=1[/tex3]
Desta forma encontramos,
[tex3]-Asin(1)=sin(n)[/tex3]
[tex3]A=-\frac{sin(n)}{sin(1)}[/tex3]
Substituindo o valor de A encontramos,
[tex3]B=\frac{\sin(n+1)}{\sin(1)}[/tex3]
Assim temos,
[tex3]S=\sum_{n=0}^{88}\frac{-sin(n)}{cos(n)sin(1)}+\frac{sin(n+1)}{cos(n+1)sin(1)}[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{\sin(1)}\sum_{n=0}^{88}\tan(n+1)-\tan(n)[/tex3]
Que é uma soma telescópica,
[tex3]S=\frac{1}{\sin(1)}\sum_{n=0}^{88}\tan(n+1)-\tan(n)=\frac{1}{\sin(1)}(tan(89)-tan(0))=\frac{tan(89)}{sin(1)}[/tex3]
[tex3]S=\frac{sin(89)}{sin(1)cos(89)}=\frac{cos(1)}{sin^2(1)}[/tex3] . C.Q.D
Abraço.
Temos,
[tex3]S=\sum\limits_{n=0}^{88}\frac{1}{{cos(n)}{cos(n+1)}}[/tex3]
Usando fração parcial,
[tex3]\frac{1}{{cos(n)}{cos(n+1)}}=\frac{A}{cos(n)}+\frac{B}{cos(n+1)}[/tex3]
Assim temos,
[tex3]A{cos(n+1)}+B{cos(n)}=1[/tex3]
Abrindo o cosseno e juntando as partes,
[tex3](Acos(1)+B)(cos(n))+(-Asin(1))(sin(n))=1[/tex3]
Relembrando que,
[tex3]sin^{2}(n)+cos^{2}(n)=1[/tex3]
Desta forma encontramos,
[tex3]-Asin(1)=sin(n)[/tex3]
[tex3]A=-\frac{sin(n)}{sin(1)}[/tex3]
Substituindo o valor de A encontramos,
[tex3]B=\frac{\sin(n+1)}{\sin(1)}[/tex3]
Assim temos,
[tex3]S=\sum_{n=0}^{88}\frac{-sin(n)}{cos(n)sin(1)}+\frac{sin(n+1)}{cos(n+1)sin(1)}[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{\sin(1)}\sum_{n=0}^{88}\tan(n+1)-\tan(n)[/tex3]
Que é uma soma telescópica,
[tex3]S=\frac{1}{\sin(1)}\sum_{n=0}^{88}\tan(n+1)-\tan(n)=\frac{1}{\sin(1)}(tan(89)-tan(0))=\frac{tan(89)}{sin(1)}[/tex3]
[tex3]S=\frac{sin(89)}{sin(1)cos(89)}=\frac{cos(1)}{sin^2(1)}[/tex3] . C.Q.D
Abraço.
Última edição: FilipeCaceres (Dom 15 Jan, 2012 14:02). Total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 755 Exibições
-
Última msg por NigrumCibum
-
- 1 Respostas
- 644 Exibições
-
Última msg por NigrumCibum
-
- 1 Respostas
- 851 Exibições
-
Última msg por undefinied3
-
- 1 Respostas
- 769 Exibições
-
Última msg por Ittalo25
-
- 1 Respostas
- 704 Exibições
-
Última msg por Jvrextrue13