Olá Marcos,
Vamos começar fazendo o traço CN e separando dois triângulos importantes para este início:
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Veja que o triângulo ADC tem as propriedades:
[tex3]AC = L[/tex3]
[tex3]CD =\el[/tex3]
[tex3]\widehat{DCA}=120^{\circ}[/tex3]
[tex3]CM=\text{mediana}[/tex3]
Olhando para o triângulo EBC, temos as propriedades:
[tex3]BC = L[/tex3]
[tex3]CE =\el[/tex3]
[tex3]\widehat{ECB}=120^{\circ}[/tex3]
[tex3]CN=\text{mediana}[/tex3]
Logo, os dois triângulos são idênticos. Isso nos faz concluir:
[tex3]AD=EB[/tex3]
[tex3]\boxed{CM=CN}[/tex3]
Apenas para uso futuro, vamos dizer que [tex3]AD=EB=k[/tex3]
.
Agora vamos para outro lado:
- Screen Shot 2012-01-28 at 22.37.31.png (31.35 KiB) Exibido 1665 vezes
O quadrilátero hachurado acima foi construído da seguinte forma:
HI é paralelo a AB passando por M [tex3]\rightarrow[/tex3]
HI é base média de ABC ([tex3]HI=\frac{L}{2}[/tex3]
).
GN é paralelo a AB passando por N [tex3]\rightarrow[/tex3]
GN é base média de ABE ([tex3]HI=\frac{L}{2}[/tex3]
).
Se M é ponto médio de AD, e CD é paralelo a AB (por construção), qualquer transversal passando por M terá M como ponto médio. É o caso do segmento CF.
Sendo M ponto médio, e HI paralelo a AB [tex3]\rightarrow[/tex3]
HI é base média [tex3]\rightarrow[/tex3]
I é ponto médio de BC.
Olhando para o triângulo EBC, NI é base média [tex3]\rightarrow[/tex3]
NI é paralelo a AC e, portanto, [tex3]NI=GH=\frac{\el}{2}[/tex3]
(1).
Sendo M o ponto médio das diagonais CF e DA, temos que AFDC é um paralelogramo [tex3]\rightarrow AF=\el[/tex3]
.
Sendo M o ponto médio, temos que HM é base média do triângulo AFC [tex3]\rightarrow HM=\frac{\el}{2}[/tex3]
.
Vamos então olhar para o trigulozinho hachurado em azul abaixo:
- Screen Shot 2012-01-28 at 22.56.06.png (31.43 KiB) Exibido 1665 vezes
Sendo HM paralelo a AB, [tex3]\widehat{GHM}=60^{\circ}\rightarrow GM=\frac{\el}{2}\rightarrow \widehat{MGN}=60^{\circ}[/tex3]
.
MGN tem as seguintes características:
[tex3]MG=\frac{\el}{2}[/tex3]
[tex3]GN=\frac{L}{2}[/tex3]
[tex3]\widehat{GHM}=60^{\circ}[/tex3]
E o triângulo AFC tem as seguintes características:
[tex3]AF=\el[/tex3]
[tex3]AC=L[/tex3]
[tex3]\widehat{FAC}=60^{\circ}[/tex3]
Sendo assim, MGN e AFC são triângulos semelhantes por LAL (Lado-Ângulo-Lado) e, com isso, [tex3]MN=\frac{k}{2}[/tex3]
Isso tudo para chegarmos
[tex3]CM=CN=MN=\frac{k}{2}[/tex3]
Logo CMN é equilátero e o ângulo [tex3]\boxed{\widehat{CMN}=60^{\circ}}[/tex3]
P.S.: Bah, acho que demorei 1hora pra escrever essa resolução, hehehe. Espero que esteja entendível, a questão é casca.