- Triângulo 00.gif (3.14 KiB) Exibido 1706 vezes
Resposta
Resposta: [tex3]60[/tex3] graus.
IME / ITA ⇒ Nivelamento ITA/IME Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2012
08
15:09
Nivelamento ITA/IME
Na figura abaixo,[tex3]A[/tex3]
, [tex3]C[/tex3]
e [tex3]E[/tex3]
são colineares,[tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
são respectivamente os pontos médios de [tex3]\overline{AD}[/tex3]
e [tex3]\overline{BE}[/tex3]
e os triângulos [tex3]ABC[/tex3]
e [tex3]CDE[/tex3]
são equiláteros.Calcule o ângulo [tex3]\hat {CMN}[/tex3]
.
Resposta: [tex3]60[/tex3] graus.
Resposta: [tex3]60[/tex3] graus.
Última edição: Marcos (Dom 08 Jan, 2012 15:09). Total de 1 vez.
''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
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caju
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Jan 2012
28
23:10
Re: Nivelamento ITA/IME
Olá Marcos,
Vamos começar fazendo o traço CN e separando dois triângulos importantes para este início:
Veja que o triângulo ADC tem as propriedades:
[tex3]AC = L[/tex3]
[tex3]CD =\el[/tex3]
[tex3]\widehat{DCA}=120^{\circ}[/tex3]
[tex3]CM=\text{mediana}[/tex3]
Olhando para o triângulo EBC, temos as propriedades:
[tex3]BC = L[/tex3]
[tex3]CE =\el[/tex3]
[tex3]\widehat{ECB}=120^{\circ}[/tex3]
[tex3]CN=\text{mediana}[/tex3]
Logo, os dois triângulos são idênticos. Isso nos faz concluir:
[tex3]AD=EB[/tex3]
[tex3]\boxed{CM=CN}[/tex3]
Apenas para uso futuro, vamos dizer que [tex3]AD=EB=k[/tex3] .
Agora vamos para outro lado:
O quadrilátero hachurado acima foi construído da seguinte forma:
HI é paralelo a AB passando por M [tex3]\rightarrow[/tex3] HI é base média de ABC ([tex3]HI=\frac{L}{2}[/tex3] ).
GN é paralelo a AB passando por N [tex3]\rightarrow[/tex3] GN é base média de ABE ([tex3]HI=\frac{L}{2}[/tex3] ).
Se M é ponto médio de AD, e CD é paralelo a AB (por construção), qualquer transversal passando por M terá M como ponto médio. É o caso do segmento CF.
Sendo M ponto médio, e HI paralelo a AB [tex3]\rightarrow[/tex3] HI é base média [tex3]\rightarrow[/tex3] I é ponto médio de BC.
Olhando para o triângulo EBC, NI é base média [tex3]\rightarrow[/tex3] NI é paralelo a AC e, portanto, [tex3]NI=GH=\frac{\el}{2}[/tex3] (1).
Sendo M o ponto médio das diagonais CF e DA, temos que AFDC é um paralelogramo [tex3]\rightarrow AF=\el[/tex3] .
Sendo M o ponto médio, temos que HM é base média do triângulo AFC [tex3]\rightarrow HM=\frac{\el}{2}[/tex3] .
Vamos então olhar para o trigulozinho hachurado em azul abaixo:
Sendo HM paralelo a AB, [tex3]\widehat{GHM}=60^{\circ}\rightarrow GM=\frac{\el}{2}\rightarrow \widehat{MGN}=60^{\circ}[/tex3]
.
MGN tem as seguintes características:
[tex3]MG=\frac{\el}{2}[/tex3]
[tex3]GN=\frac{L}{2}[/tex3]
[tex3]\widehat{GHM}=60^{\circ}[/tex3]
E o triângulo AFC tem as seguintes características:
[tex3]AF=\el[/tex3]
[tex3]AC=L[/tex3]
[tex3]\widehat{FAC}=60^{\circ}[/tex3]
Sendo assim, MGN e AFC são triângulos semelhantes por LAL (Lado-Ângulo-Lado) e, com isso, [tex3]MN=\frac{k}{2}[/tex3]
Isso tudo para chegarmos
[tex3]CM=CN=MN=\frac{k}{2}[/tex3]
Logo CMN é equilátero e o ângulo [tex3]\boxed{\widehat{CMN}=60^{\circ}}[/tex3]
P.S.: Bah, acho que demorei 1hora pra escrever essa resolução, hehehe. Espero que esteja entendível, a questão é casca.
Vamos começar fazendo o traço CN e separando dois triângulos importantes para este início:
- Screen Shot 2012-01-28 at 22.29.26.png (25.54 KiB) Exibido 1663 vezes
[tex3]AC = L[/tex3]
[tex3]CD =\el[/tex3]
[tex3]\widehat{DCA}=120^{\circ}[/tex3]
[tex3]CM=\text{mediana}[/tex3]
Olhando para o triângulo EBC, temos as propriedades:
[tex3]BC = L[/tex3]
[tex3]CE =\el[/tex3]
[tex3]\widehat{ECB}=120^{\circ}[/tex3]
[tex3]CN=\text{mediana}[/tex3]
Logo, os dois triângulos são idênticos. Isso nos faz concluir:
[tex3]AD=EB[/tex3]
[tex3]\boxed{CM=CN}[/tex3]
Apenas para uso futuro, vamos dizer que [tex3]AD=EB=k[/tex3] .
Agora vamos para outro lado:
- Screen Shot 2012-01-28 at 22.37.31.png (31.35 KiB) Exibido 1663 vezes
HI é paralelo a AB passando por M [tex3]\rightarrow[/tex3] HI é base média de ABC ([tex3]HI=\frac{L}{2}[/tex3] ).
GN é paralelo a AB passando por N [tex3]\rightarrow[/tex3] GN é base média de ABE ([tex3]HI=\frac{L}{2}[/tex3] ).
Se M é ponto médio de AD, e CD é paralelo a AB (por construção), qualquer transversal passando por M terá M como ponto médio. É o caso do segmento CF.
Sendo M ponto médio, e HI paralelo a AB [tex3]\rightarrow[/tex3] HI é base média [tex3]\rightarrow[/tex3] I é ponto médio de BC.
Olhando para o triângulo EBC, NI é base média [tex3]\rightarrow[/tex3] NI é paralelo a AC e, portanto, [tex3]NI=GH=\frac{\el}{2}[/tex3] (1).
Sendo M o ponto médio das diagonais CF e DA, temos que AFDC é um paralelogramo [tex3]\rightarrow AF=\el[/tex3] .
Sendo M o ponto médio, temos que HM é base média do triângulo AFC [tex3]\rightarrow HM=\frac{\el}{2}[/tex3] .
Vamos então olhar para o trigulozinho hachurado em azul abaixo:
- Screen Shot 2012-01-28 at 22.56.06.png (31.43 KiB) Exibido 1663 vezes
MGN tem as seguintes características:
[tex3]MG=\frac{\el}{2}[/tex3]
[tex3]GN=\frac{L}{2}[/tex3]
[tex3]\widehat{GHM}=60^{\circ}[/tex3]
E o triângulo AFC tem as seguintes características:
[tex3]AF=\el[/tex3]
[tex3]AC=L[/tex3]
[tex3]\widehat{FAC}=60^{\circ}[/tex3]
Sendo assim, MGN e AFC são triângulos semelhantes por LAL (Lado-Ângulo-Lado) e, com isso, [tex3]MN=\frac{k}{2}[/tex3]
Isso tudo para chegarmos
[tex3]CM=CN=MN=\frac{k}{2}[/tex3]
Logo CMN é equilátero e o ângulo [tex3]\boxed{\widehat{CMN}=60^{\circ}}[/tex3]
P.S.: Bah, acho que demorei 1hora pra escrever essa resolução, hehehe. Espero que esteja entendível, a questão é casca.
Última edição: caju (Sáb 28 Jan, 2012 23:10). Total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
Jan 2012
30
18:55
Re: Nivelamento ITA/IME
Obrigado caju pela ajuda na solução!!!
Última edição: Marcos (Seg 30 Jan, 2012 18:55). Total de 1 vez.
''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
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FilipeCaceres - Mensagens: 2504
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Jan 2012
31
18:52
Re: Nivelamento ITA/IME
Olá Marcos e Caju,
Pelo jeito deu bastante trabalho postar toda essa soluçao.
Vou dar minha singela contribuição e postar uma 2º solução.
Veja que podemos construir [tex3]\Delta CDE[/tex3] idêntico ao [tex3]\Delta ABC[/tex3] .
Como os triângulos [tex3]\Delta CDE[/tex3]
e [tex3]\Delta BCD[/tex3]
são idênticos, a reta que liga os postos [tex3]EB[/tex3]
tem como ponto médio [tex3]N[/tex3]
sobre a reta [tex3]CD[/tex3]
, e este irá cortar no ponto médio de [tex3]CD[/tex3]
Analogamente temos para a reta [tex3]AD[/tex3] .
Estando [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] no ponto médio de [tex3]BC[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] respectivamente, temos que:
[tex3]CM=CN[/tex3] . Assim temos que [tex3]\Delta CMN[/tex3] é isósceles.
Logo,
[tex3]\angle{NMC}=\angle{CNM}=\frac{180-60}{2}=60^{\circ}[/tex3] . Portanto [tex3]\Delta CMN[/tex3] é equilátero.
Com isso concluímos que o ângulo desejado vale:
[tex3]\boxed{\hat {CMN}=60^{\circ}}[/tex3]
Abraço.
Pelo jeito deu bastante trabalho postar toda essa soluçao.
Vou dar minha singela contribuição e postar uma 2º solução.
Veja que podemos construir [tex3]\Delta CDE[/tex3] idêntico ao [tex3]\Delta ABC[/tex3] .
- nivelamento.png (11.75 KiB) Exibido 1632 vezes
Analogamente temos para a reta [tex3]AD[/tex3] .
Estando [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] no ponto médio de [tex3]BC[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] respectivamente, temos que:
[tex3]CM=CN[/tex3] . Assim temos que [tex3]\Delta CMN[/tex3] é isósceles.
Logo,
[tex3]\angle{NMC}=\angle{CNM}=\frac{180-60}{2}=60^{\circ}[/tex3] . Portanto [tex3]\Delta CMN[/tex3] é equilátero.
Com isso concluímos que o ângulo desejado vale:
[tex3]\boxed{\hat {CMN}=60^{\circ}}[/tex3]
Abraço.
Última edição: FilipeCaceres (Ter 31 Jan, 2012 18:52). Total de 1 vez.
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caju
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Jan 2012
31
19:02
Re: Nivelamento ITA/IME
Olá FilipeCaceres,
Sua resolução estaria perfeita para uma questão objetiva.
Pois, realmente, se o enunciado diz que vale pra qualquer situação, vale para a específica também.
Porém, é bom resaltar que em uma prova discursiva sua resolução seria considerada errada. Porque houve perda de generalidade.
Grande abraço,
Prof. Caju
Sua resolução estaria perfeita para uma questão objetiva.
Pois, realmente, se o enunciado diz que vale pra qualquer situação, vale para a específica também.
Porém, é bom resaltar que em uma prova discursiva sua resolução seria considerada errada. Porque houve perda de generalidade.
Grande abraço,
Prof. Caju
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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FilipeCaceres
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Jan 2012
31
19:06
Re: Nivelamento ITA/IME
Olá Caju,
Mas o enunciado não diz qual é a relação entre os triângulo, desta forma acredito que podemos construir qualquer triângulo equilátero.Certo?
Abraço.
Mas o enunciado não diz qual é a relação entre os triângulo, desta forma acredito que podemos construir qualquer triângulo equilátero.Certo?
Abraço.
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caju
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Jan 2012
31
22:02
Re: Nivelamento ITA/IME
Olá FilipeCaceres,
Justamente por não fornecer a relação entre os triângulos que você não pode arbitrar uma relação com o intuito de facilitar os cálculos (em uma questão discursiva).
Em uma resolução você deve utilizar as informações dadas no enunciado e, em cima delas, deduzir outras que irão lhe conduzir à demonstração solicitada. Nesse caso, o fato de serem iguais é, como diríamos na faculdade, uma "carteada" (muito boa, por sinal).
Nesta questão, a generalidade (qualquer relação entre eles) deve ser contemplada.
Mas, volto a repetir, em uma prova objetiva esse tipo de resolução que você fez DEVE ser usado!! Pois irá otimizar o tempo de resolução
Grande abraço,
Prof. Caju
Justamente por não fornecer a relação entre os triângulos que você não pode arbitrar uma relação com o intuito de facilitar os cálculos (em uma questão discursiva).
Em uma resolução você deve utilizar as informações dadas no enunciado e, em cima delas, deduzir outras que irão lhe conduzir à demonstração solicitada. Nesse caso, o fato de serem iguais é, como diríamos na faculdade, uma "carteada" (muito boa, por sinal).
Nesta questão, a generalidade (qualquer relação entre eles) deve ser contemplada.
Mas, volto a repetir, em uma prova objetiva esse tipo de resolução que você fez DEVE ser usado!! Pois irá otimizar o tempo de resolução
Grande abraço,
Prof. Caju
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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