Olimpíadas ⇒ Eslovênia (1999) - Funções Tópico resolvido

[theblackmamba]

Determine o valor da expressão:
[tex3]f\(\frac{1}{2000}\) + f\(\frac{2}{2000}\) + ... + f\(\frac{1999}{2000}\) + f\(\frac{2000}{2000}\).... + f\(\frac{2000}{1999}\) + ... + f\(\frac{2000}{1}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\(\frac{1}{2000}\) + f\(\frac{2}{2000}\) + ... + f\(\frac{1999}{2000}\) + f\(\frac{2000}{2000}\).... + f\(\frac{2000}{1999}\) + ... + f\(\frac{2000}{1}\)[/tex3]

Supondo que [tex3]f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Vamos escrever para um caso geral inicialmente,
[tex3]f\(\frac{i}{k}\)=\frac{\(\frac{i}{k}\)^2}{1+\(\frac{i}{k}\)^2}=\frac{i^2}{k^2+i^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\(\frac{i}{k}\)=\frac{\(\frac{i}{k}\)^2}{1+\(\frac{i}{k}\)^2}=\frac{i^2}{k^2+i^2}[/tex3]

Analogamente,
[tex3]f\(\frac{k}{i}\)=\frac{k^2}{i^2+k^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\(\frac{k}{i}\)=\frac{k^2}{i^2+k^2}[/tex3]

Veja que
[tex3]f\(\frac{i}{k}\)+f\(\frac{k}{i}\)=\frac{i^2}{k^2+i^2}+\frac{k^2}{i^2+k^2}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\(\frac{i}{k}\)+f\(\frac{k}{i}\)=\frac{i^2}{k^2+i^2}+\frac{k^2}{i^2+k^2}=1[/tex3]

Assim temos,
[tex3]S=f\(\frac{2000}{2000}\)+\sum_{i=1}^{1999} 1=f(1)+1999[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=f\(\frac{2000}{2000}\)+\sum_{i=1}^{1999} 1=f(1)+1999[/tex3]

[tex3]S=\frac{1}{2}+1999=\frac{3999}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\frac{1}{2}+1999=\frac{3999}{2}[/tex3]

Portanto a soma desejada vale,
[tex3]\boxed{S=\frac{3999}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{S=\frac{3999}{2}}[/tex3]

Abraço.

[theblackmamba]

Olá filipe,
Muito interessante e criativa a resposta ! Obrigado. Abraço