IME / ITA ⇒ IME (1982) - Trigonometria Tópico resolvido

[theblackmamba]

É dado que [tex3]2 cos\,\(\theta\) = \frac{1}{x} + x[/tex3]

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[tex3]2 cos\,\(\theta\) = \frac{1}{x} + x[/tex3]

; demonstre que [tex3]2cos\,\(m\theta\) = \frac{1}{x^m} + x^m[/tex3]

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[tex3]2cos\,\(m\theta\) = \frac{1}{x^m} + x^m[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Seja [tex3]x=e^{i\theta}[/tex3]

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[tex3]x=e^{i\theta}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]x+\frac{1}{x}=e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta[/tex3]

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[tex3]x+\frac{1}{x}=e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta[/tex3]

, que é justamento um dado do enunciado.

Logo,
[tex3]x^m+\frac{1}{x^m}=e^{i\theta m}+e^{-i\theta m}=2cos(m\theta)[/tex3]

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[tex3]x^m+\frac{1}{x^m}=e^{i\theta m}+e^{-i\theta m}=2cos(m\theta)[/tex3]

.

Abraço.

[theblackmamba]

Olá filipe,
O que seria exatamente [tex3]e^{i\theta}[/tex3]

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[tex3]e^{i\theta}[/tex3]

? Obrigado. Abraço

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

É uma forma alternativa para escrever os números complexos,
[tex3]e^{i\theta}=cis\theta=cos\theta +isen\theta[/tex3]

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[tex3]e^{i\theta}=cis\theta=cos\theta +isen\theta[/tex3]

Podemos escrever estas duas relações
[tex3]cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\ sen\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} ,\,\forall \theta \in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\ sen\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} ,\,\forall \theta \in \mathbb{R}[/tex3]

Eu utilizei a primeira.

Abraço.