Ensino Médio ⇒ Binômio de Newton Tópico resolvido

[theblackmamba]

O número [tex3]sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} +\sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... +\sqrt{1 + \frac{1}{2000^2} + \frac{1}{2001^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} +\sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... +\sqrt{1 + \frac{1}{2000^2} + \frac{1}{2001^2}[/tex3]

é racional; escreva-o na forma [tex3]\frac{p}{q}[/tex3]

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[tex3]\frac{p}{q}[/tex3]

, [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

e [tex3]q[/tex3]

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[tex3]q[/tex3]

inteiros.

Resposta

---

R: [tex3]2000 + \frac{2000}{2001}[/tex3]

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[tex3]2000 + \frac{2000}{2001}[/tex3]

A questão pede para resolver usando o Binômio de Newton, mas estou com dificuldade para colocar esta soma na forma de somatório. Quem ajudar eu agradeço. Abraço.

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba ,

Podemos escrever este somatório da seguinte forma,
[tex3]\sum_{i=i}^{2000}\sqrt{1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(1+i)^2}}[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=i}^{2000}\sqrt{1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(1+i)^2}}[/tex3]

Mas veja que,
[tex3]\sqrt{1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(1+i)^2}}=\sqrt{\frac{i^4+2i^3+3i^2+2i+1}{i^2(i+1)^2}}=\sqrt{\frac{(i^2+i+1)^2}{i^2(i+1)^2}}=\frac{i^2+i+1}{i(i+1)}=1+\frac{1}{i}-\frac{1}{1+i}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(1+i)^2}}=\sqrt{\frac{i^4+2i^3+3i^2+2i+1}{i^2(i+1)^2}}=\sqrt{\frac{(i^2+i+1)^2}{i^2(i+1)^2}}=\frac{i^2+i+1}{i(i+1)}=1+\frac{1}{i}-\frac{1}{1+i}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\sum_{i=i}^{2000}(1+\frac{1}{i}-\frac{1}{1+i})=\sum_{i=i}^{2000}1+\sum_{i=i}^{2000}\(\frac{1}{i}-\frac{1}{1+i}\)[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=i}^{2000}(1+\frac{1}{i}-\frac{1}{1+i})=\sum_{i=i}^{2000}1+\sum_{i=i}^{2000}\(\frac{1}{i}-\frac{1}{1+i}\)[/tex3]

[tex3]\sum_{i=i}^{2000}1+\sum_{i=i}^{2000}\(\frac{1}{i}-\frac{1}{1+i}\)=2000+\(\frac{1}{1}-\frac{1}{2001}\)=2000+\frac{2000}{2001}[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=i}^{2000}1+\sum_{i=i}^{2000}\(\frac{1}{i}-\frac{1}{1+i}\)=2000+\(\frac{1}{1}-\frac{1}{2001}\)=2000+\frac{2000}{2001}[/tex3]

Como queremos na forma [tex3]\frac{p}{q}[/tex3]

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[tex3]\frac{p}{q}[/tex3]

, temos que,
[tex3]\boxed{\sum_{i=i}^{2000}\sqrt{1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(1+i)^2}}=\frac{4004000}{2001}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\sum_{i=i}^{2000}\sqrt{1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(1+i)^2}}=\frac{4004000}{2001}}[/tex3]

Abraço.