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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Espanha 2008 Tópico resolvido
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Dez 2011
15
18:30
Espanha 2008
Prove que [tex3]2222^{5555}+5555^{2222}[/tex3]
é múltiplo de 7.
Editado pela última vez por Cássio em 15 Dez 2011, 18:30, em um total de 1 vez.
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Dez 2011
15
18:52
Re: Espanha 2008
Para o número ser múltiplo de 7 a divisão desse número por 7 deve ser exata, ou seja, ter resto igual a 0.
Utilizando congruência:
[tex3]2222 \equiv -4(mod7) \right 2222^{5555} \equiv -4 (mod7)[/tex3]
[tex3]5555 \equiv -3 (mod7) \right 5555^{2222} \equiv -3(mod7)[/tex3]
Assim,
[tex3]2222^{5555} + 5555^{2222} \equiv -4 + (-3) \equiv -7 \equiv 0(mod 7)[/tex3] [tex3]\text{C.Q.D}[/tex3]
Utilizando congruência:
[tex3]2222 \equiv -4(mod7) \right 2222^{5555} \equiv -4 (mod7)[/tex3]
[tex3]5555 \equiv -3 (mod7) \right 5555^{2222} \equiv -3(mod7)[/tex3]
Assim,
[tex3]2222^{5555} + 5555^{2222} \equiv -4 + (-3) \equiv -7 \equiv 0(mod 7)[/tex3] [tex3]\text{C.Q.D}[/tex3]
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Dez 2011
15
19:21
Re: Espanha 2008
Você poderia provar ou mostrar como você chegou a isso ?theblackmamba escreveu:Para o número ser múltiplo de 7 a divisão desse número por 7 deve ser exata, ou seja, ter resto igual a 0.
Utilizando congruência:
[tex3]2222 \equiv -4(mod7) \right 2222^{5555} \equiv -4 (mod7)[/tex3]
[tex3]5555 \equiv -3 (mod7) \right 5555^{2222} \equiv -3(mod7)[/tex3]
Grato!
Editado pela última vez por Cássio em 15 Dez 2011, 19:21, em um total de 1 vez.
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Dez 2011
15
19:34
Re: Espanha 2008
Olá Cássio, fiz assim:
Usando o básico de congruência: [tex3]2222^{5555} \equiv -3 (mod7)[/tex3]
Veja que:
[tex3]2222 = 317 \cdot 7 + 3[/tex3] , ou seja, na divisão de [tex3]2222[/tex3] por sete o resto será [tex3]3[/tex3] . Da mesma maneira para a divisão de [tex3]-4[/tex3] por [tex3]7[/tex3] (divisão euclidiana [tex3]\right[/tex3] resto positivo)
Pela propriedade de congruência temos que:
[tex3]k \equiv n(modx) \right k^{m} \equiv n(mod x)[/tex3] , por isso deduzimos [tex3]2222^{5555} \equiv -3 (mod 7)[/tex3]
Analogamente para a outra situação. Abraço
Usando o básico de congruência: [tex3]2222^{5555} \equiv -3 (mod7)[/tex3]
Veja que:
[tex3]2222 = 317 \cdot 7 + 3[/tex3] , ou seja, na divisão de [tex3]2222[/tex3] por sete o resto será [tex3]3[/tex3] . Da mesma maneira para a divisão de [tex3]-4[/tex3] por [tex3]7[/tex3] (divisão euclidiana [tex3]\right[/tex3] resto positivo)
Pela propriedade de congruência temos que:
[tex3]k \equiv n(modx) \right k^{m} \equiv n(mod x)[/tex3] , por isso deduzimos [tex3]2222^{5555} \equiv -3 (mod 7)[/tex3]
Analogamente para a outra situação. Abraço
Editado pela última vez por theblackmamba em 15 Dez 2011, 19:34, em um total de 1 vez.
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Dez 2011
15
20:38
Re: Espanha 2008
Acho que essa propriedade não é bem assim. A que eu conheço é:
se [tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3] , para todo [tex3]n\in \mathbb{N}.[/tex3]
se [tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3] , para todo [tex3]n\in \mathbb{N}.[/tex3]
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Dez 2011
15
21:57
Re: Espanha 2008
Olá Cássio,
Veja que,
[tex3]2222\equiv3\pmod7[/tex3]
Como você já disse, se [tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3] , para todo [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3] .
Assim temos,
[tex3]2222^{5555}\equiv3^{5555}\pmod7[/tex3]
Por Euler
[tex3]3^6\equiv 1\pmod 7[/tex3]
Logo,
[tex3]3^{5555}\equiv 3^{6.925+5}\equiv 3^5\equiv 5\pmod7[/tex3]
Analogamente,
[tex3]5555\equiv4\pmod7[/tex3]
[tex3]5555^{2222}\equiv4^{2222}\pmod7[/tex3]
[tex3]4^{2222}\equiv 4^{6.370+2}\equiv 4^2\equiv2 \pmod7[/tex3]
Portanto,
[tex3]2222^{5555}+5555^{2222}\equiv 5+2\equiv 0\pmod7[/tex3]
Abraço.
Veja que,
[tex3]2222\equiv3\pmod7[/tex3]
Como você já disse, se [tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3] , para todo [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3] .
Assim temos,
[tex3]2222^{5555}\equiv3^{5555}\pmod7[/tex3]
Por Euler
[tex3]3^6\equiv 1\pmod 7[/tex3]
Logo,
[tex3]3^{5555}\equiv 3^{6.925+5}\equiv 3^5\equiv 5\pmod7[/tex3]
Analogamente,
[tex3]5555\equiv4\pmod7[/tex3]
[tex3]5555^{2222}\equiv4^{2222}\pmod7[/tex3]
[tex3]4^{2222}\equiv 4^{6.370+2}\equiv 4^2\equiv2 \pmod7[/tex3]
Portanto,
[tex3]2222^{5555}+5555^{2222}\equiv 5+2\equiv 0\pmod7[/tex3]
Abraço.
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 15 Dez 2011, 21:57, em um total de 1 vez.
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Dez 2011
15
22:14
Re: Espanha 2008
Acabei me precipitando na passagemCássio escreveu:Acho que essa propriedade não é bem assim. A que eu conheço é:
se [tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3] , para todo [tex3]n\in \mathbb{N}.[/tex3]
....mas agora o Filipe corrigiu perfeitamenteValeww
Editado pela última vez por theblackmamba em 15 Dez 2011, 22:14, em um total de 1 vez.
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