Olimpíadas ⇒ Espanha 2008 Tópico resolvido

[Cássio]

Prove que [tex3]2222^{5555}+5555^{2222}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222^{5555}+5555^{2222}[/tex3]

é múltiplo de 7.

[theblackmamba]

Para o número ser múltiplo de 7 a divisão desse número por 7 deve ser exata, ou seja, ter resto igual a 0.

Utilizando congruência:
[tex3]2222 \equiv -4(mod7) \right 2222^{5555} \equiv -4 (mod7)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222 \equiv -4(mod7) \right 2222^{5555} \equiv -4 (mod7)[/tex3]

[tex3]5555 \equiv -3 (mod7) \right 5555^{2222} \equiv -3(mod7)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5555 \equiv -3 (mod7) \right 5555^{2222} \equiv -3(mod7)[/tex3]

Assim,
[tex3]2222^{5555} + 5555^{2222} \equiv -4 + (-3) \equiv -7 \equiv 0(mod 7)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222^{5555} + 5555^{2222} \equiv -4 + (-3) \equiv -7 \equiv 0(mod 7)[/tex3]

[tex3]\text{C.Q.D}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{C.Q.D}[/tex3]

[Cássio]

Para o número ser múltiplo de 7 a divisão desse número por 7 deve ser exata, ou seja, ter resto igual a 0.

Utilizando congruência:
[tex3]2222 \equiv -4(mod7) \right 2222^{5555} \equiv -4 (mod7)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222 \equiv -4(mod7) \right 2222^{5555} \equiv -4 (mod7)[/tex3]

[tex3]5555 \equiv -3 (mod7) \right 5555^{2222} \equiv -3(mod7)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5555 \equiv -3 (mod7) \right 5555^{2222} \equiv -3(mod7)[/tex3]

Você poderia provar ou mostrar como você chegou a isso ?

Grato!

[theblackmamba]

Olá Cássio, fiz assim:
Usando o básico de congruência: [tex3]2222^{5555} \equiv -3 (mod7)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222^{5555} \equiv -3 (mod7)[/tex3]

Veja que:

[tex3]2222 = 317 \cdot 7 + 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222 = 317 \cdot 7 + 3[/tex3]

, ou seja, na divisão de [tex3]2222[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222[/tex3]

por sete o resto será [tex3]3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3[/tex3]

. Da mesma maneira para a divisão de [tex3]-4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-4[/tex3]

por [tex3]7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7[/tex3]

(divisão euclidiana [tex3]\right[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\right[/tex3]

resto positivo)
Pela propriedade de congruência temos que:
[tex3]k \equiv n(modx) \right k^{m} \equiv n(mod x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k \equiv n(modx) \right k^{m} \equiv n(mod x)[/tex3]

, por isso deduzimos [tex3]2222^{5555} \equiv -3 (mod 7)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222^{5555} \equiv -3 (mod 7)[/tex3]

Analogamente para a outra situação. Abraço

[Cássio]

Acho que essa propriedade não é bem assim. A que eu conheço é:

se [tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3]

, para todo [tex3]n\in \mathbb{N}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n\in \mathbb{N}.[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá Cássio,

Veja que,

[tex3]2222\equiv3\pmod7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222\equiv3\pmod7[/tex3]

Como você já disse, se [tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3]

, para todo [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3]

.

Assim temos,
[tex3]2222^{5555}\equiv3^{5555}\pmod7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222^{5555}\equiv3^{5555}\pmod7[/tex3]

Por Euler
[tex3]3^6\equiv 1\pmod 7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^6\equiv 1\pmod 7[/tex3]

Logo,
[tex3]3^{5555}\equiv 3^{6.925+5}\equiv 3^5\equiv 5\pmod7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{5555}\equiv 3^{6.925+5}\equiv 3^5\equiv 5\pmod7[/tex3]

Analogamente,
[tex3]5555\equiv4\pmod7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5555\equiv4\pmod7[/tex3]

[tex3]5555^{2222}\equiv4^{2222}\pmod7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5555^{2222}\equiv4^{2222}\pmod7[/tex3]

[tex3]4^{2222}\equiv 4^{6.370+2}\equiv 4^2\equiv2 \pmod7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4^{2222}\equiv 4^{6.370+2}\equiv 4^2\equiv2 \pmod7[/tex3]

Portanto,
[tex3]2222^{5555}+5555^{2222}\equiv 5+2\equiv 0\pmod7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2222^{5555}+5555^{2222}\equiv 5+2\equiv 0\pmod7[/tex3]

Abraço.

[theblackmamba]

Acho que essa propriedade não é bem assim. A que eu conheço é:

se [tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\equiv b\pmod m \Longrightarrow a^n\equiv b^n\pmod m[/tex3]

, para todo [tex3]n\in \mathbb{N}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n\in \mathbb{N}.[/tex3]

Acabei me precipitando na passagem ....mas agora o Filipe corrigiu perfeitamente
Valeww