Ensino Superior ⇒ Derivadas: Máximos e Mínimos

[italoemanuell]

Determine o máximo da função [tex3]f(x)=x^3.(1-x),[/tex3]

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[tex3]f(x)=x^3.(1-x),[/tex3]

sendo [tex3]x\in ]0,1[.[/tex3]

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[tex3]x\in ]0,1[.[/tex3]

Resposta:

---

[tex3]\frac{27}{256}[/tex3]

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[tex3]\frac{27}{256}[/tex3]

Agradeço desde já ajuda de todos.

[mawapa]

Olá italoemanuell

1) os pontos candidatos a máximo absoluto são os pontos onde a derivada se anula ou não existe.
2) outros candidatos são os pontos dos extremos do intervalo. (mas como o intervalo é aberto então não tem nenhum).

Derivando:

• [tex3]f'(x)=x^3.-1+3x^2.(1-x)[/tex3]

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  [tex3]f'(x)=x^3.-1+3x^2.(1-x)[/tex3]

  
  [tex3]f'(x)=-4x^3 + 3x^2[/tex3]

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  [tex3]f'(x)=-4x^3 + 3x^2[/tex3]

  
  [tex3]f'(x)=x^2.(-4x+3)[/tex3]

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  [tex3]f'(x)=x^2.(-4x+3)[/tex3]

Achando as raizes da função [tex3]f',[/tex3]

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[tex3]f',[/tex3]

que são [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

e [tex3]\frac{3}{4},[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{4},[/tex3]

esses dois pontos são candidatos a máximos absolutos. Agora é só testá-los

• [tex3]f(0)=0[/tex3]

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  [tex3]f(0)=0[/tex3]

  
  
  [tex3]f(\frac{3}{4})=(\frac{3}{4})^3.(1-\frac{3}{4})[/tex3]

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  [tex3]f(\frac{3}{4})=(\frac{3}{4})^3.(1-\frac{3}{4})[/tex3]

  
  
  [tex3]f(\frac{3}{4})=\frac{27}{256}[/tex3]

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  [tex3]f(\frac{3}{4})=\frac{27}{256}[/tex3]

Assim o máximo da função é [tex3]\frac{27}{256}[/tex3]

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[tex3]\frac{27}{256}[/tex3]

quando [tex3]x=\frac{3}{4}.[/tex3]

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[tex3]x=\frac{3}{4}.[/tex3]

Abraços, espero ter ajudado!