IME / ITA

Um cone circular reto com altura de [tex3]sqrt{8}cm[/tex3] e raio da base de [tex3]2cm[/tex3] está inscrito numa esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone é igual a:

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Pelo fato de a esfera estar inscrita no cilindro, a altura ([tex3]H[/tex3] ) do cilindro será [tex3]2R[/tex3] (duas vezes o raio da esfera).

Pelo enunciado:
[tex3]r = 2cm[/tex3]
[tex3]h =\sqrt{8}cm[/tex3]

1. Área do cone:

[tex3]A_{cone} = \pi r (g + r)[/tex3]
[tex3]A_{cone} = \pi r (\sqrt{(\sqrt{8})^2 + 2^2} + 2)[/tex3]
[tex3]A_{cone} = 2 \pi(\sqrt{12} + 2)[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{cone} = 4 \pi (\sqrt{3} + 1)cm^2}[/tex3]

2. Área do cilindro:

[tex3]A_{cil} = 2 \pi R(H + R)[/tex3]
[tex3]A_{cil} = 2 \pi R (2R + R)[/tex3]
[tex3]A_{cil} = 6 \pi R^2[/tex3]

3. Relação: cone – esfera

[tex3]R^2 = (h - R)^2 + r^2[/tex3]
[tex3]R^2 = (\sqrt{8} - R)^2 + 2^2[/tex3]
[tex3]\cancel{R^2} = 8 - 4\sqrt{2} R + \cancel{R^2} + 4[/tex3]
[tex3]\cancel{4}\sqrt{2} R = \cancel{12}[/tex3]
[tex3]R = \frac{3}{sqrt{2}}cm[/tex3]

Voltando em 2:

[tex3]A_{cil} = 6 \pi (\frac{3}{sqrt{2}})^2[/tex3]
[tex3]A_{cil} = 6 \pi \frac{9}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{cil} = 27 \pi cm^2}[/tex3]

4.Finalmente:

[tex3]\frac{A_{cil}}{A_{cone}} = \frac{27 \cancel{\pi}}{4 \cancel{\pi}(\sqrt{3} + 1)[/tex3]
[tex3]\frac{A_{cil}}{A_{cone}} = \frac{27}{4}.\frac{(\sqrt{3} -1)}{ [(\sqrt{3})^2 -1^2][/tex3]
[tex3]\frac{A_{cil}}{A_{cone}} = \frac{27}{4.2}(\sqrt{3} -1)[/tex3]
[tex3]\boxed{ \frac{A_{cil}}{A_{cone}} = \frac{27}{8}(\sqrt{3} -1)}[/tex3]

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