IME / ITA(ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Helx
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Set 2011 04 10:56

(ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Helx »

O comprimento da diagonal de um pentágono regular medindo 1 unidade é gual a raiz positiva de:

(A) [tex3]x^2 + x - 2 = 0[/tex3]
(B) [tex3]x^2 - x - 2 = 0[/tex3]
(C) [tex3]x^2 - 2x + 2 = 0[/tex3]
(D) [tex3]x^2 + x - 1 = 0[/tex3]
(E) [tex3]x^2 - x - 1 = 0[/tex3]
ita_pentagono.gif
ita_pentagono.gif (5.71 KiB) Exibido 14224 vezes
Resposta

Resposta (E)

Última edição: caju (Seg 20 Ago, 2018 21:42). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



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victoria
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Set 2011 04 15:27

Re: (ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por victoria »

Olá Helx,

tive que dar uma pesquisada pois não me lembrava da propriedade:
pela incomensurabilidade do pentágono regular (a incomensurabilidade de duas grandezas se refere ao fato de sua razão não poder ser expressa por números racionais)

tem-se que a razão entre a diagonal e o lado do pentágono=[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

Logo, nesse problema:
l=lado do pentágono
d= diagonal do pentágono

temos: [tex3]\frac{d}{l} = \frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]
como l=1,

d=[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3] , que é raiz de [tex3]x^{2}-x-1[/tex3] , uma vez que, por Bhaskara:

[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3] ou [tex3]\frac{1-\sqrt 5}{2}[/tex3]

porém só é valido a primeira: [tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

Portanto, ALTERNATIVA E

Espero ter ajudado, :wink:

Última edição: caju (Seg 20 Ago, 2018 21:44). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



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Helx
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Set 2011 04 16:26

Re: (ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Helx »

Então esta razão deve ser decorada? Como faço para chegar a essa razão?



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FilipeCaceres
5 - Mestre
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Set 2011 04 19:00

Re: (ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por FilipeCaceres »

Olá Helx,
ita_pentagono.gif
ita_pentagono.gif (5.94 KiB) Exibido 14211 vezes
Usando o Teorema de Ptolomeu é imediato.

[tex3]xx=x.1+1.1[/tex3]

Assim temos,
[tex3]x^2-x-1=0[/tex3] .Letra E

Abraço.
Última edição: caju (Seg 20 Ago, 2018 21:45). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



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Helx
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Re: (ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Helx »

Bem melhor agora. Obrigado!



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Agash
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Re: (ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Agash »

Nunca pensaria em usar o teorema de ptolomeu.. Boa ideia... = ]



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paulojorge
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Re: (ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por paulojorge »

Tenho uma dúvida. No caso do Teorema do Ptolomeu, como eu saberia que o polígono dado era inscrítivel na circunferência? Já que ele não diz no enunciado.

Alguém pode me ajudar?
Última edição: paulojorge (Ter 15 Nov, 2016 00:35). Total de 1 vez.


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Ittalo25
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Re: (ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Ittalo25 »

paulojorge escreveu:Tenho uma dúvida. No caso do Teorema do Ptolomeu, como eu saberia que o polígono dado era inscrítivel na circunferência? Já que ele não diz no enunciado.

Alguém pode me ajudar?
Todo polígono regular é inscritível a uma circunferência.
A demonstração começa já na segunda página:

http://www.professores.uff.br/dirceuesu/GBaula11.pdf
Última edição: Ittalo25 (Ter 15 Nov, 2016 01:47). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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paulojorge
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Re: (ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por paulojorge »

Obrigado mais uma vez Italo!


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simas
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Re: (ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por simas »

Tem uma solução simples usando apenas semelhança de triângulos e a soma dos ângulos internos de um pentágono. Eu escrevi como solução de uma lista de exercícios para meus estudantes e coloco aqui como imagem para evitar a fadiga. =)
Anexos
Captura de tela de 2018-08-20 21-21-07.png
Captura de tela de 2018-08-20 21-21-07.png (45.43 KiB) Exibido 7099 vezes




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